M203 : Mathématiques financières
Résumé du module

Mathématiques financières : l'essentiel

Toute la théorie à retenir et toutes les formules, chapitre par chapitre, pour réviser rapidement avant l'examen. Les exemples et les exercices sont dans les chapitres.

Sommaire
  1. Les intérêts simples
  2. L'escompte et l'équivalence des effets
  3. Les comptes courants et d'intérêts
  4. Les intérêts composés
  5. Les annuités
  6. Les emprunts indivis
  7. Le choix des investissements

1 Les intérêts simples

Intérêt simple : calculé uniquement sur le capital initial, qui reste invariable ; utilisé pour le court terme (moins d'un an).

Formules
I = C × t × j ÷ 36 000 (jours) ; C × t × m ÷ 1 200 (mois) ; C × t × n ÷ 100 (années)
Année civile : diviser par 36 500
VA = C + I = C (1 + i × n)
Méthode des nombres : I = ΣN ÷ D avec N = C × j et D = 36 000 ÷ t
Taux moyen Tm = ΣCtj ÷ ΣCj
Intérêt précompté (terme à échoir) : Te = I ÷ [(C − I) × n] = t ÷ (1 − t m ÷ 1 200) (taux effectif > taux nominal)

2 L'escompte et l'équivalence des effets

Escompte commercial : intérêt retenu par la banque sur la valeur nominale d'un effet, de la date de remise à l'échéance.

Formules
E = V × t × j ÷ 36 000 ; valeur actuelle a = V − E
Agio TTC = (escompte + commissions) × 1,10 ; valeur nette = V − agio TTC
Taux réel = Agio TTC × 36 000 ÷ (V × j) ; taux de revient = Agio TTC × 36 000 ÷ (valeur nette × j)
Taux de rendement du banquier = (agio HT − commissions de service) × 36 000 ÷ (valeur nette × j)
Escompte rationnel Er = V t j ÷ (36 000 + t j) (< escompte commercial)

Effets équivalents : même valeur actuelle à la date d'équivalence, au même taux.

Formules
V₁ (1 − t j₁ ÷ 36 000) = V₂ (1 − t j₂ ÷ 36 000)
Échéance moyenne : j = ΣVj ÷ ΣV (nominal unique = somme des nominaux)

3 Les comptes courants et d'intérêts

Date de valeur : date de prise en compte pour les intérêts (majorée pour un crédit, minorée pour un débit).

Formules
Intérêts débiteurs = ΣN débiteurs × taux débiteur ÷ 36 000 ; idem au crédit avec le taux créditeur
Solde à nouveau = solde + intérêts créditeurs − intérêts débiteurs − commissions − TVA (10 %)
Comptes sur carnet : I = C × t × q ÷ 2 400 (q = quinzaines entières ; dates de valeur le 1er et le 16)

4 Les intérêts composés

Intérêts composés : l'intérêt de chaque période s'ajoute au capital et produit lui-même intérêt (moyen et long terme).

Formules
Cn = C₀ (1 + i)ⁿ ; C₀ = Cn (1 + i)⁻ⁿ (valeur actuelle)
i = (Cn ÷ C₀)^(1/n) − 1 ; n = log (Cn ÷ C₀) ÷ log (1 + i)
Durée fractionnaire : commerciale C₀(1 + i)^(k + p/12) ; rationnelle C₀(1 + i)ᵏ(1 + i p/12)
Taux proportionnel = i ÷ k ; taux équivalent = (1 + i)^(1/k) − 1
Escompte composé E = Cn [1 − (1 + i)⁻ⁿ]

5 Les annuités

Annuités : sommes versées à intervalles réguliers, pour rembourser une dette ou constituer un capital.

Formules
Vn = a [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i (au moment du dernier versement)
V₀ = a [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i (une période avant le 1er versement)
a = V₀ × i ÷ [1 − (1 + i)⁻ⁿ] (remboursement) ; a = Vn × i ÷ [(1 + i)ⁿ − 1] (constitution)
n = − log (1 − V₀ i ÷ a) ÷ log (1 + i) ; i : essais + interpolation
Début de période : × (1 + i) ; différées : × (1 + i)⁻ᵈ ; perpétuelles : V₀ = a ÷ i
Progression arithmétique : Vn = (a + r ÷ i) [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i − n r ÷ i
Progression géométrique : Vn = a [(1 + i)ⁿ − qⁿ] ÷ (1 + i − q)

6 Les emprunts indivis

Emprunt indivis : un seul prêteur (banque) ; s'oppose à l'emprunt obligataire (titres, nombreux prêteurs).

Formules
Intérêt = capital début × i ; annuité = intérêt (+ TVA) + amortissement ; capital fin = capital début − amortissement
Amortissements constants : M = C ÷ n (annuités décroissantes)
In fine avec fonds d’amortissement : m = C × i′ ÷ [(1 + i′)ⁿ − 1] ; annuité effective = C × i + m
Annuités constantes : a = C × i ÷ [1 − (1 + i)⁻ⁿ]
M₁ = a − C i ; Mₖ = M₁ (1 + i)^(k−1) ; C = M₁ [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i ; a = Mn (1 + i)
Capital restant dû Dp = a [1 − (1 + i)^−(n−p)] ÷ i
TVA 10 % : i TTC = i × 1,10 (annuité au taux TTC, intérêt du tableau au taux HT)

7 Le choix des investissements

Formules
Cash-flow = résultat net + dotations aux amortissements (+ valeur résiduelle la dernière année)
VAN = Σ CFₖ (1 + i)⁻ᵏ − I₀ ; CF constants : CF × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i − I₀
IP = Σ CF actualisés ÷ I₀ = 1 + VAN ÷ I₀
TRI : taux qui annule la VAN (interpolation entre une VAN > 0 et une VAN < 0)
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