Chapitre 7

Le choix des investissements : VAN, IP, DRCI et TRI

Cours

Les mathématiques financières servent aussi à décider : faut-il acheter cette machine ? Quel projet choisir entre deux ? On compare l'argent dépensé aujourd'hui (l'investissement) à l'argent que le projet rapportera dans les années futures, en actualisant ces sommes (chapitres 4 et 5). Ce chapitre présente les critères de choix d'investissement les plus utilisés.

I. Les éléments d'un projet d'investissement

Investissement

Un investissement est une dépense engagée aujourd'hui (achat de matériel, construction, création d'une activité) dans l'espoir d'obtenir des gains futurs supérieurs à cette dépense.

capital investi (I₀) : prix d'achat HT + frais d'installation et de mise en service (+ besoin en fonds de roulement s'il est donné) ;
durée de vie du projet (n années) ;
flux nets de trésorerie (cash-flows, CF) : excédents encaissés chaque année grâce au projet. Formule simplifiée : CF = résultat net + dotations aux amortissements ;
valeur résiduelle : prix de revente du matériel à la fin du projet (on l'ajoute au dernier cash-flow) ;
taux d'actualisation : taux minimum exigé par l'entreprise (coût du financement).

Calcul d'un cash-flow

Une machine de 300 000 DH, amortie en linéaire sur 5 ans, permet un chiffre d'affaires annuel de 400 000 DH avec 250 000 DH de charges décaissables. Taux de l'IS : 20 %.

Élément	Calcul	Montant
Chiffre d'affaires		400 000
− Charges décaissables		250 000
− Dotation aux amortissements	300 000 ÷ 5	60 000
= Résultat avant impôt		90 000
− IS (20 %)	90 000 × 20 %	18 000
= Résultat net		72 000
+ Dotation aux amortissements		60 000
= Cash-flow annuel		132 000

On rajoute l'amortissement parce que c'est une charge non décaissée : elle diminue le résultat (et l'impôt) mais ne sort pas de la trésorerie.

II. La valeur actuelle nette (VAN)

VAN

La valeur actuelle nette est la différence entre la somme des cash-flows actualisés et le capital investi.

VAN = Σ CF_k (1 + i)^−k − I₀ ; si les CF sont constants : VAN = CF × 1 − (1 + i)⁻ⁿi − I₀

VAN > 0 : le projet est rentable (il rapporte plus que le taux exigé) : on l'accepte ;
VAN < 0 : le projet n'est pas rentable : on le rejette ;
entre plusieurs projets de même durée et même investissement, on choisit celui qui a la VAN la plus élevée.

VAN d'un projet

Un projet nécessite un investissement de 500 000 DH et dure 5 ans. Cash-flows : 140 000 ; 160 000 ; 180 000 ; 150 000 ; 120 000 DH. Taux d'actualisation : 10 %.

Année	Cash-flow	Coefficient (1,1)^−k	CF actualisé	Cumul des CF actualisés
1	140 000	0,909091	127 272,73	127 272,73
2	160 000	0,826446	132 231,40	259 504,13
3	180 000	0,751315	135 236,66	394 740,80
4	150 000	0,683013	102 452,02	497 192,81
5	120 000	0,620921	74 510,56	571 703,37

VAN = 571 703,37 − 500 000 = 71 703,37 DH > 0 : le projet est rentable.

III. L'indice de profitabilité (IP)

L'IP mesure ce que rapporte 1 DH investi :

IP = Σ CF actualisésI₀ = 1 + VANI₀

Le projet est rentable si IP > 1. Exemple : IP = 571 703,37 ÷ 500 000 = 1,1434 : chaque dirham investi rapporte 1,1434 DH actualisé, soit un gain de 0,14 DH. L'IP permet de comparer des projets dont les investissements sont différents.

IV. Le délai de récupération du capital investi (DRCI)

DRCI

Le délai de récupération est le temps nécessaire pour que le cumul des cash-flows actualisés soit égal au capital investi. Plus il est court, moins le projet est risqué.

DRCI du projet

D'après le tableau, le cumul atteint 497 192,81 DH à la fin de la 4^e année et 571 703,37 DH à la fin de la 5^e. Le capital (500 000) est récupéré au cours de la 5^e année, par interpolation :

DRCI = 4 + 500 000 − 497 192,8174 510,56 = 4 + 0,0377 an

0,0377 × 12 = 0,45 mois ≈ 14 jours ⇒ DRCI ≈ 4 ans et 14 jours.

V. Le taux de rentabilité interne (TRI)

TRI

Le TRI est le taux d'actualisation pour lequel la VAN est nulle : Σ CF_k (1 + TRI)^−k = I₀. C'est le taux de rentabilité propre du projet.

le projet est acceptable si TRI > taux d'actualisation exigé ;
entre deux projets, on préfère celui qui a le TRI le plus élevé.

On trouve le TRI par essais (deux taux qui donnent une VAN positive puis négative) et interpolation linéaire.

TRI du projet

Taux	VAN
15 %	+ 6 499,23
TRI	0
16 %	− 5 108,67

TRI = 15 + 6 499,236 499,23 + 5 108,67 × 1 = 15 + 0,56 = 15,56 %

Le TRI (15,56 %) est supérieur au taux exigé (10 %) : le projet est accepté.

À retenir

Cash-flow = résultat net + dotations aux amortissements (+ valeur résiduelle la dernière année).
VAN = Σ CF actualisés − I₀ : projet rentable si VAN > 0.
IP = Σ CF actualisés ÷ I₀ : rentable si IP > 1.
DRCI : date à laquelle le cumul des CF actualisés égale I₀ (interpolation).
TRI : taux qui annule la VAN ; projet acceptable si TRI > taux exigé.

Exercices

Exercice 1 : cash-flows constants

Une entreprise envisage d'acheter un équipement de 300 000 DH qui procurera un cash-flow annuel constant de 90 000 DH pendant 5 ans. Taux d'actualisation 9 %. Calculez : a) la VAN ; b) l'IP ; c) le DRCI ; d) le TRI (VAN à 15 % : + 1 693,96 ; à 16 % : − 5 313,57).

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a) VAN = 90 000 × 1 − 1,09⁻⁵0,09 − 300 000 = 90 000 × 3,889651 − 300 000 = 350 068,61 − 300 000 = 50 068,61 DH ;
b) IP = 350 068,61 ÷ 300 000 = 1,167 ;
c) 90 000 × [1 − 1,09⁻ⁿ] ÷ 0,09 = 300 000 ⇒ 1,09⁻ⁿ = 1 − 300 000 × 0,09 ÷ 90 000 = 0,7 ⇒ n = − log 0,7 ÷ log 1,09 = 4,139 ans ⇒ DRCI ≈ 4 ans, 1 mois et 20 jours ;
d) TRI = 15 + 1 693,96 ÷ (1 693,96 + 5 313,57) = 15,24 % > 9 % : projet acceptable.

Exercice 2 : choisir entre deux projets

L'entreprise ATLAS ÉQUIPEMENT hésite entre deux projets de 250 000 DH chacun, d'une durée de 4 ans. Taux d'actualisation 9 %.

Année	1	2	3	4
Cash-flows projet A	60 000	70 000	80 000	90 000
Cash-flows projet B	110 000	90 000	60 000	40 000

1) Calculez la VAN et l'IP de chaque projet. 2) Calculez le TRI du projet B (VAN à 10 % : − 3 220,41). 3) Quel projet faut-il choisir ? Calculez son DRCI.

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Année	Coefficient 1,09^−k	CF A actualisé	Cumul A	CF B actualisé	Cumul B
1	0,917431	55 045,87	55 045,87	100 917,43	100 917,43
2	0,841680	58 917,60	113 963,47	75 751,20	176 668,63
3	0,772183	61 774,68	175 738,15	46 331,01	222 999,64
4	0,708425	63 758,27	239 496,42	28 337,01	251 336,65

1) VAN_A = 239 496,42 − 250 000 = − 10 503,58 DH ; IP_A = 0,958. VAN_B = 251 336,65 − 250 000 = + 1 336,65 DH ; IP_B = 1,005.
2) TRI_B entre 9 % (+ 1 336,65) et 10 % (− 3 220,41) : TRI = 9 + 1 336,65 ÷ (1 336,65 + 3 220,41) = 9,29 %.
3) Le projet A n'est pas rentable (VAN < 0). On choisit le projet B (VAN > 0, IP > 1, TRI > 9 %), même si les cash-flows de A sont plus élevés au total : B rapporte plus tôt, et l'argent reçu tôt vaut plus.
DRCI de B : 3 + (250 000 − 222 999,64) ÷ 28 337,01 = 3,953 ans ⇒ 3 ans, 11 mois et 13 jours.

Exercice 3 : du compte de résultat à la VAN

Reprenez la machine de 300 000 DH du cours (cash-flow annuel de 132 000 DH pendant 5 ans). Le taux d'actualisation est de 10 %. Calculez la VAN et l'IP. Le projet est-il rentable ?

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VAN = 132 000 × 1 − 1,1⁻⁵0,1 − 300 000 = 132 000 × 3,790787 − 300 000 = 200 383,85 DH

IP = 500 383,85 ÷ 300 000 = 1,668. VAN > 0 et IP > 1 : le projet est rentable.

Exercice 4 : questions de cours

a) Pourquoi actualise-t-on les cash-flows au lieu de les additionner ? b) Que signifie une VAN nulle ? c) Pourquoi ajoute-t-on les dotations aux amortissements au résultat net pour obtenir le cash-flow ?

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a) Parce qu'un dirham reçu dans le futur vaut moins qu'un dirham aujourd'hui (on pourrait le placer) : l'actualisation ramène toutes les sommes à la même date (date 0) pour pouvoir les comparer à l'investissement.
b) Une VAN nulle signifie que le projet rapporte exactement le taux d'actualisation : le taux d'actualisation est alors égal au TRI.
c) L'amortissement est une charge calculée, non décaissée : il réduit le résultat mais aucune somme ne sort de la trésorerie ; on le rajoute donc pour retrouver l'argent réellement dégagé.

Vidéos

Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.

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