L'arithmétique commerciale regroupe les calculs de tous les jours dans l'entreprise : factures, remises, marges, partages, conversions. Ce premier chapitre revoit les quatre opérations, les fractions et les nombres décimaux, outils de base de tout le module.
| Opération | Résultat | Exemple | Commutative ? |
|---|---|---|---|
| Addition | La somme | 73 + 28 = 101 | Oui : 73 + 28 = 28 + 73 |
| Soustraction | La différence | 73 − 28 = 45 | Non : 28 − 73 ≠ 73 − 28 |
| Multiplication | Le produit (des facteurs) | 32 × 8 = 256 | Oui : 28 × 7 = 7 × 28 = 196 |
| Division | Le quotient (et un reste) | 21 868 ÷ 417 ≈ 52,44 | Non |
Dans une division, on appelle dividende le nombre que l'on divise, diviseur le nombre par lequel on divise, quotient le résultat et reste ce qui n'a pas été partagé. On vérifie toujours une division par la relation :
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste (avec Reste < Diviseur)
21 868 ÷ 417 : 417 × 52 = 21 684, reste 184 ; en poursuivant avec deux décimales on obtient 52,44 et un reste de 0,52.
Vérification : 417 × 52,44 + 0,52 = 21 867,48 + 0,52 = 21 868.
Ordre des opérations : on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions : 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17, mais (5 + 3) × 4 = 32.
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Une fraction désigne une ou plusieurs parties d'une unité divisée en parts égales. Dans 58, 5 est le numérateur (nombre de parts prises) et 8 le dénominateur (nombre de parts de l'unité).
Une fraction est inférieure à 1 si le numérateur est plus petit que le dénominateur (12 litre) et supérieure à 1 dans le cas contraire (94, « une baguette et demie » = 32).
Un nombre fractionnaire est un entier suivi d'une fraction.
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre non nul : 2420 = 24 ÷ 420 ÷ 4 = 65.
Pour rendre une fraction irréductible, on divise ses deux termes par leur PGCD (plus grand commun diviseur), obtenu en décomposant les nombres en facteurs premiers et en prenant les facteurs communs avec leur plus petit exposant.
On simplifie les fractions, puis on prend pour dénominateur commun le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs : facteurs communs et non communs avec leur plus grand exposant. Chaque numérateur est multiplié par (dénominateur commun ÷ son dénominateur).
Résultat : 2072, 2172 et 2272.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition, même dénominateur | On additionne les numérateurs, on garde le dénominateur | 514 + 314 = 814 = 47 |
| Addition, dénominateurs différents | On réduit au même dénominateur, puis on additionne | 72 + 43 = 216 + 86 = 296 |
| Soustraction | Même principe avec la différence des numérateurs | 712 − 38 = 1424 − 924 = 524 |
| Fraction × entier | On multiplie le numérateur | 211 × 4 = 811 |
| Fraction × fraction | Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux | 45 × 38 × 45 = 48200 = 625 |
| Fraction ÷ entier | On multiplie le dénominateur (ou on divise le numérateur si possible) | 34 ÷ 7 = 328 ; 10111 ÷ 5 = 2111 |
| Fraction ÷ fraction | On multiplie par l'inverse du diviseur | 25 ÷ 34 = 25 × 43 = 815 |
| Entier ÷ fraction | On multiplie l'entier par l'inverse de la fraction | 180 ÷ 25 = 180 × 52 = 450 |
Multiplier les dénominateurs entre eux donne toujours un dénominateur commun (12 × 8 = 96), mais pas le plus petit : 5696 − 3696 = 2096 qu'il faut ensuite simplifier en 524. Le PPCM (24) évite cette étape.
Un nombre décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : c'est le quotient d'un entier par une puissance de 10 (−5,743 = −5 743 ÷ 1 000). Les chiffres après la virgule sont les décimales (dixièmes, centièmes, millièmes) : 4 272,512 = 4 × 10³ + 2 × 10² + 7 × 10 + 2 + 5 × 10⁻¹ + 1 × 10⁻² + 2 × 10⁻³.
| Calcul mental | Équivaut à |
|---|---|
| × 0,5 | ÷ 2 |
| ÷ 0,5 | × 2 |
| × 0,25 | ÷ 4 |
| ÷ 0,25 | × 4 |
| × 0,1 | ÷ 10 |
| ÷ 0,1 | × 10 |
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Calculez et simplifiez : a) 34 + 56 ; b) 1115 − 29 ; c) 914 × 712 ; d) 58 ÷ 1516 ; e) 3 25 (en fraction) ; f) 476 (en nombre fractionnaire).
1) Rendez irréductible 252360. 2) Réduisez au même dénominateur 512, 718 et 38.
Un commerçant reçoit 360 kg de semoule. Il vend les 25 le lundi et les 34 du reste le mardi. Quelle quantité lui reste-t-il ? Quelle fraction du stock initial cela représente-t-il ?
Calculez sans calculatrice : a) 12,75 + 3,8 − 0,125 ; b) 2,4 × 0,35 ; c) 7,56 ÷ 0,12 ; d) 48 × 0,25 ; e) 36 ÷ 0,5. Vérifiez c) par la relation de la division.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.