M107 : Techniques quantitatives de gestion

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1 EFM 1 : Sujet type A : arithmétique commerciale et série classée (dépenses des clients d'un supermarché) FractionsPartage proportionnelRègle de troisRemisesTVAPourcentagesEffectifs cumulésModeMédianeQuartilesMoyenneÉcart-typeCoefficient de variation

Durée : 2 h 30 — 40 points.

Dossier 1 : arithmétique commerciale (20 points)

Calculez et donnez le résultat sous forme irréductible : (23 + 54) ÷ 236. (2 pts)
Une prime de 36 000 DH est partagée entre trois employés proportionnellement à leur ancienneté (4, 6 et 8 ans) et inversement proportionnellement à leurs jours d'absence (2, 3 et 1). Calculez la part de chacun. (4 pts)
6 employés saisissent 1 800 factures en 5 jours de 6 heures. Combien de jours faudra-t-il à 4 employés travaillant 8 heures par jour pour saisir 2 400 factures ? (3 pts)
Un client achète des marchandises au prix catalogue de 50 000 DH HT. Il obtient deux remises successives de 12 % et 5 % et un escompte de 2 % ; TVA 20 %. Établissez la facture et calculez le taux de remise global. (6 pts)
Après une hausse de 12 %, un article est vendu 2 016 DH : quel était son prix avant la hausse ? (2 pts)
Un article est vendu 1 200 DH HT avec un taux de marque de 25 %. Calculez la marge, le coût d'achat et le taux de marge. (3 pts)

Dossier 2 : statistique (20 points) — Une enquête sur les dépenses mensuelles de 100 clients d'un supermarché donne :

Dépenses (DH)	[0 – 500[	[500 – 1 000[	[1 000 – 1 500[	[1 500 – 2 000[	[2 000 – 3 000[
Nombre de clients	10	25	30	20	15

Précisez la population, l'individu, le caractère et sa nature. (2 pts)
Calculez les fréquences en %, les ECC et les ECD. Combien de clients dépensent moins de 1 500 DH ? Au moins 2 000 DH ? (4 pts)
Quel graphique faut-il utiliser ? Calculez les valeurs nécessaires pour le tracer. (2 pts)
Calculez et interprétez le mode, la médiane, Q₁, Q₃ et la moyenne. (7 pts)
Calculez la variance, l'écart-type et le coefficient de variation. Interprétez. (5 pts)

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Dossier 1

1) 23 + 54 = 812 + 1512 = 2312 ; 2312 × 623 = 612 = 12.
2) Coefficients : 4 ÷ 2 = 2 ; 6 ÷ 3 = 2 ; 8 ÷ 1 = 8, soit 1 ; 1 ; 4 (total 6) ; 36 000 ÷ 6 = 6 000 : parts 6 000 ; 6 000 ; 24 000 DH.
3) Un employé saisit 1 8006 × 5 × 6 = 10 factures par heure ; durée = 2 4004 × 8 × 10 = 7,5 jours.

Élément	Calcul	Montant (DH)
Prix catalogue		50 000,00
Remise 12 %	50 000 × 12 %	− 6 000,00
Net 1		44 000,00
Remise 5 %	44 000 × 5 %	− 2 200,00
Net commercial		41 800,00
Escompte 2 %	41 800 × 2 %	− 836,00
Net financier HT		40 964,00
TVA 20 %	40 964 × 20 %	+ 8 192,80
Net à payer TTC		49 156,80

4) Taux de remise global : 1 − 0,88 × 0,95 = 1 − 0,836 = 16,4 % (et non 17 %).
5) 2 016 × 100112 = 1 800 DH.
6) Marge = 1 200 × 25 % = 300 DH ; coût d'achat = 1 200 − 300 = 900 DH ; taux de marge = 300 ÷ 900 = 33,33 %.

Dossier 2

1) Population : les 100 clients ; individu : un client ; caractère : la dépense mensuelle ; nature : quantitatif continu.

Dépenses	nᵢ	fᵢ %	ECC	ECD	aᵢ	n'ᵢ (réf. 500)	cᵢ	nᵢcᵢ	nᵢcᵢ²
[0 – 500[	10	10	10	100	500	10	250	2 500	625 000
[500 – 1 000[	25	25	35	90	500	25	750	18 750	14 062 500
[1 000 – 1 500[	30	30	65	65	500	30	1 250	37 500	46 875 000
[1 500 – 2 000[	20	20	85	35	500	20	1 750	35 000	61 250 000
[2 000 – 3 000[	15	15	100	15	1 000	7,5	2 500	37 500	93 750 000
Total	100	100	—	—	—	—	—	131 250	216 562 500

2) Moins de 1 500 DH : ECC = 65 clients ; au moins 2 000 DH : ECD = 15 clients.
3) Histogramme ; la dernière classe a une amplitude double : hauteur = effectif corrigé 7,5.
4) Mode : classe modale [1 000 – 1 500[ ; d₁ = 30 − 25 = 5 ; d₂ = 30 − 20 = 10 : Mo = 1 000 + 515 × 500 = 1 166,67 DH (dépense la plus fréquente).
Médiane : rang 50 → [1 000 – 1 500[ : Me = 1 000 + 500 × 50 − 3530 = 1 250 DH : la moitié des clients dépense moins de 1 250 DH.
Q₁ : rang 25 → 500 + 500 × 25 − 1025 = 800 DH ; Q₃ : rang 75 → 1 500 + 500 × 75 − 6520 = 1 750 DH : 50 % des clients dépensent entre 800 et 1 750 DH.
Moyenne : x̄ = 131 250 ÷ 100 = 1 312,50 DH.
5) V = 216 562 500 ÷ 100 − 1 312,5² = 2 165 625 − 1 722 656,25 = 442 968,75 ; σ = 665,56 DH ; CV = 665,56 ÷ 1 312,5 = 50,7 % : les dépenses sont très dispersées (clientèle hétérogène).

2 EFM 2 : Sujet type B : réductions sur le poids, partage et série discrète (commandes journalières) PGCDPartage inversement proportionnelRéductions sur le poidsTVACoefficient multiplicateurDiagramme en bâtonsFréquences cumuléesModeMédianeMoyenneVarianceCoefficient de variation

Durée : 2 h — 40 points.

Dossier 1 : arithmétique commerciale (20 points)

Rendez irréductible la fraction 360648 en calculant le PGCD. (2 pts)
Une gratification de 13 300 DH est partagée entre trois agents inversement proportionnellement aux délais de traitement de leurs dossiers : 4, 6 et 9 jours. Calculez la part de chacun. (4 pts)
Une livraison de 2 500 kg bruts supporte une tare de 4 %, un don de 2 % et une réfaction de 1 %. Le prix est de 12 DH HT le kg ; TVA 20 %. Calculez le poids net, le montant HT et le montant TTC. (6 pts)
Un prix augmente de 5 %, puis de 8 %, puis baisse de 10 %. Calculez le coefficient multiplicateur global et le taux de variation global. (4 pts)
La somme de deux nombres est 240 et leur rapport est 35. Trouvez-les. (4 pts)

Dossier 2 : statistique (20 points) — Nombre de commandes reçues par jour pendant 50 jours :

Commandes par jour (xᵢ)	0	1	2	3	4	5
Nombre de jours (nᵢ)	4	8	12	14	7	5

Précisez le caractère et sa nature ; quel graphique utiliser ? (2 pts)
Calculez les fréquences, les FCC et les FCD. Pendant quel pourcentage de jours a-t-on reçu au plus 2 commandes ? Au moins 4 commandes ? (5 pts)
Déterminez le mode et la médiane ; calculez la moyenne. (6 pts)
Calculez la variance, l'écart-type et le coefficient de variation. (5 pts)
Un second service a une moyenne de 4 commandes par jour avec un écart-type de 1,5. Quel service a l'activité la plus régulière ? (2 pts)

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Dossier 1

1) 360 = 2³ × 3² × 5 ; 648 = 2³ × 3⁴ ; PGCD = 2³ × 3² = 72 : 360648 = 59.
2) Inverses 14, 16, 19 ; PPCM(4 ; 6 ; 9) = 36 : 936, 636, 436 → coefficients 9 ; 6 ; 4 (total 19) ; 13 300 ÷ 19 = 700 : parts 6 300 ; 4 200 ; 2 800 DH.

Élément	Calcul	Montant
Poids brut		2 500,00 kg
Tare 4 %	2 500 × 4 %	− 100,00 kg
Net 1		2 400,00 kg
Don 2 %	2 400 × 2 %	− 48,00 kg
Net 2		2 352,00 kg
Réfaction 1 %	2 352 × 1 %	− 23,52 kg
Poids net		2 328,48 kg
Montant HT	2 328,48 × 12	27 941,76 DH
TVA 20 %	27 941,76 × 20 %	5 588,35 DH
Montant TTC		33 530,11 DH

4) CM = 1,05 × 1,08 × 0,90 = 1,0206 : hausse globale de 2,06 % (et non 3 %).
5) x3 = y5 = 2408 = 30 ⇒ x = 90 et y = 150.

Dossier 2

1) Caractère : le nombre de commandes par jour, quantitatif discret → diagramme en bâtons.

xᵢ	nᵢ	fᵢ	FCC	FCD	ECC	nᵢxᵢ	nᵢxᵢ²
0	4	0,08	0,08	1	4	0	0
1	8	0,16	0,24	0,92	12	8	8
2	12	0,24	0,48	0,76	24	24	48
3	14	0,28	0,76	0,52	38	42	126
4	7	0,14	0,90	0,24	45	28	112
5	5	0,10	1	0,10	50	25	125
Total	50	1	—	—	—	127	419

2) Au plus 2 commandes : FCC(2) = 48 % des jours ; au moins 4 commandes : FCD(4) = 24 %.
3) Mode : 3 commandes (14 jours). Médiane : rang 25 ; premier ECC ≥ 25 = 38 → Me = 3 commandes. Moyenne : 127 ÷ 50 = 2,54 commandes par jour.
4) V = 419 ÷ 50 − 2,54² = 8,38 − 6,4516 = 1,9284 ; σ = 1,39 ; CV = 1,39 ÷ 2,54 = 54,7 %.
5) CV du second service = 1,5 ÷ 4 = 37,5 % < 54,7 % : le second service a l'activité la plus régulière, bien que son écart-type soit plus grand.

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