M107 · Chapitre 2 : La règle de trois et le partage proportionnel

Cours

De nombreux problèmes de gestion portent sur des grandeurs proportionnelles : quantité et prix, temps de travail et production, nombre d'ouvriers et durée d'un chantier. La règle de trois permet de trouver une valeur inconnue ; le partage proportionnel permet de répartir une somme (prime, bénéfice, frais) de façon juste.

I. La règle de trois

Type	Définition
Simple	Deux grandeurs seulement
Composée	Plus de deux grandeurs
Directe	Grandeurs directement proportionnelles : quand l'une double, l'autre double
Inverse	Grandeurs inversement proportionnelles : quand l'une double, l'autre est divisée par deux

1. Règle de trois simple et directe

Production d'un tourneur

En 8 heures de travail, un tourneur réalise 10 pièces. Combien en réalisera-t-il en 40 heures ?

Méthode de l'unité (retour à 1) : 8 h → 10 pièces ; 1 h → 108 = 1,25 pièce ; 40 h → 1,25 × 40 = 50 pièces.
Méthode des proportions : 108 = a40 ; produit des extrêmes = produit des moyens : 8 × a = 10 × 40 = 400 ⇒ a = 50.
Coefficient de proportionnalité : 10 ÷ 8 = 1,25 pièce par heure ; 1,25 × 40 = 50.

2. Règle de trois simple et inverse

Quand les grandeurs sont inversement proportionnelles, c'est leur produit qui reste constant.

Durée d'un chantier

Pour faire un ouvrage, 9 ouvriers ont mis 60 jours. Combien de jours faudrait-il à 20 ouvriers ?

9 ouvriers → 60 jours ; 1 ouvrier → 60 × 9 = 540 jours (seul, il met 9 fois plus de temps) ;
20 ouvriers → 54020 = 27 jours.

De même, 10 ouvriers construisent un ouvrage en 9 jours : 10 × 9 = 90 jours pour un ouvrier ; 15 ouvriers : 90 ÷ 15 = 6 jours.

3. Règle de trois composée

On ramène chaque grandeur à l'unité l'une après l'autre, en se demandant à chaque fois si le résultat augmente (on multiplie) ou diminue (on divise).

Creusement d'une tranchée

Pour faire 60 mètres de tranchée, 20 ouvriers ont travaillé 14 journées de 9 heures. Combien de jours mettront 15 ouvriers pour creuser 120 mètres en travaillant 7 heures par jour ?

Étape	Mètres	Ouvriers	Heures/jour	Jours
Donnée	60	20	9	14
1 mètre (moins de travail : ÷ 60)	1	20	9	1460
120 mètres (× 120)	120	20	9	14 × 12060
1 ouvrier (plus long : × 20)	120	1	9	14 × 120 × 2060
15 ouvriers (÷ 15)	120	15	9	14 × 120 × 2060 × 15
1 h par jour (plus long : × 9)	120	15	1	14 × 120 × 20 × 960 × 15
7 h par jour (÷ 7)	120	15	7	14 × 120 × 20 × 960 × 15 × 7 = 302 4006 300 = 48 jours

Consommation d'une locomotive

Une locomotive consomme 3 280 kg de charbon en 12 jours en roulant 8 heures par jour. Consommation pour 260 jours à raison de 5 heures par jour ?

Consommation = 3 280 × 260 × 512 × 8 = 4 264 00096 = 44 416,67 kg

II. Le partage proportionnel

Partager une somme proportionnellement à des nombres a, b, c, c'est attribuer à chacun une part telle que part Aa = part Bb = part Cc. Le partage est simple s'il dépend d'une seule grandeur, composé s'il en fait intervenir plusieurs.

1. Le partage directement proportionnel

Part de chacun = Somme à partagerTotal des nombres × son nombre

Prime de fin d'année

Partager 22 478 DH proportionnellement aux années de service de trois employés : 6, 12 et 14 ans. Total = 32 ; 22 478 ÷ 32 = 702,4375 DH par année.

Employé	Années	Part (DH)
A	6	702,4375 × 6 = 4 214,63
B	12	702,4375 × 12 = 8 429,25
C	14	702,4375 × 14 = 9 834,12
Total	32	22 478,00

Si le partage se fait proportionnellement à des fractions, on les réduit au même dénominateur et on partage proportionnellement aux numérateurs. Exemple : 6 500 DH proportionnellement à 12, 13 et 14 → 612, 412, 312 → partage selon 6, 4, 3 (total 13 ; 6 500 ÷ 13 = 500) : 3 000, 2 000 et 1 500 DH.

2. Le partage inversement proportionnel

Partager inversement proportionnellement à des nombres, c'est partager directement proportionnellement à leurs inverses.

Gratification d'une équipe

14 000 DH à partager entre trois membres inversement proportionnellement aux heures nécessaires à chacun pour exécuter une tâche : 63 h, 72 h et 80 h (le plus rapide reçoit le plus).

Inverses : 163, 172, 180 ; dénominateur commun = PPCM(63 ; 72 ; 80) = 2⁴ × 3² × 5 × 7 = 5 040 ;
805 040, 705 040, 635 040 : on partage proportionnellement à 80, 70 et 63 (total 213).

Membre	Heures	Coefficient	Part (DH)
1	63	80	14 000 × 80 ÷ 213 = 5 258,22
2	72	70	14 000 × 70 ÷ 213 = 4 600,94
3	80	63	14 000 − 5 258,22 − 4 600,94 = 4 140,84
Total	—	213	14 000,00

Le dernier montant est obtenu par différence pour que le total tombe juste malgré les arrondis.

3. Le partage composé

Quand la répartition dépend de plusieurs grandeurs, on multiplie les nombres directement proportionnels et on divise par les nombres inversement proportionnels, puis on partage proportionnellement aux résultats.

Prime selon le salaire et l'ancienneté

26 000 DH à partager proportionnellement au salaire et à l'ancienneté : A (4 000 DH ; 5 ans), B (5 000 DH ; 4 ans), C (6 000 DH ; 2 ans).

Produits : 20 000 ; 20 000 ; 12 000, soit 5 ; 5 ; 3 (total 13) ;
26 000 ÷ 13 = 2 000 : A = 10 000, B = 10 000, C = 6 000 DH.

Si la prime était directement proportionnelle à l'ancienneté et inversement proportionnelle aux jours d'absence (A : 6 ans, 2 jours ; B : 4 ans, 1 jour ; C : 9 ans, 3 jours), les coefficients seraient 6 ÷ 2 = 3 ; 4 ÷ 1 = 4 ; 9 ÷ 3 = 3.

4. Trouver deux nombres connaissant leur rapport

Si xy = ab, alors xa = yb = x + ya + b = y − xb − a.

Somme et rapport

x + y = 168 et xy = 57 : x5 = y7 = 16812 = 14 ⇒ x = 70 et y = 98.

y − x = 27 et xy = 2332 : 2732 − 23 = 3 ⇒ x = 23 × 3 = 69 et y = 32 × 3 = 96.

À retenir

Directe : on ramène à l'unité puis on multiplie ; inverse : le produit est constant.
Composée : une grandeur à la fois, en se demandant si le résultat augmente ou diminue.
Partage direct : somme ÷ total des nombres × chaque nombre ; inverse : partager selon les inverses ; composé : multiplier (ou diviser) les coefficients.

Associé	Coefficient	Part (DH)
1	3	18 000
2	5	30 000
3	6	36 000
Total	14	84 000