M107 : Techniques quantitatives de gestion
Chapitre 3

Les pourcentages, le calcul des prix et le coefficient multiplicateur

Cours

Les pourcentages sont partout dans la gestion : marges, remises, TVA, hausses de prix, réductions sur le poids. Ce chapitre montre comment calculer un pourcentage, retrouver une valeur de départ, enchaîner plusieurs pourcentages avec le coefficient multiplicateur et passer d'un prix à un autre.

I. La notion de pourcentage

Pourcentage

Un pourcentage (ou « tant pour cent ») est un rapport dont le dénominateur est 100 : t % = t100. Il exprime une quantité proportionnelle à une autre ramenée à une base 100. Le pour mille (‰) a pour base 1 000.

Montant = Base × t100   ;   t = MontantBase × 100

Calculs de pourcentages
  • 3 % de 9 620 = 9 620 × 3100 = 288,60 ;
  • 7,2 % de 2 870 = 206,64 ; 12,2 % de 870 = 106,14 ;
  • 4 ‰ de 6 800 = 6 800 × 41 000 = 27,20.
Rechercher un pourcentage

Le prix brut d'une marchandise est de 1 200 DH ; elle est vendue net 1 020 DH. Remise = 1 200 − 1 020 = 180 DH ; taux = 1801 200 × 100 = 15 %.

II. Pourcentage direct et pourcentage indirect

  • pourcentage direct : il s'applique à une quantité connue. On gagne 30 % sur un prix d'achat de 1 500 DH : bénéfice = 1 500 × 30 % = 450 DH ; prix de vente = 1 500 + 450 = 1 950 DH (ou 1 500 × 130 % = 1 950) ;
  • pourcentage indirect : il s'applique à une quantité inconnue que l'on doit retrouver. On pose un tableau en base 100.

Le cours distingue deux cas de pourcentage indirect :

CasSituationTableauFormule
En dedansLe pourcentage s'applique à un nombre plus petit que le nombre donné (hausse, ajout)Base 100 ; hausse t ; nombre donné 100 + tBase = Nombre donné × 100100 + t
En dehorsLe pourcentage s'applique à un nombre plus grand que le nombre donné (baisse, remise)Base 100 ; baisse t ; nombre donné 100 − tBase = Nombre donné × 100100 − t
Retrouver la valeur de départ

En dedans : après une hausse de 15 %, un objet vaut 920 DH. Ancien prix 100, hausse 15, nouveau prix 115 : ancien prix = 920 × 100115 = 800 DH.

En dehors : après une remise de 10 %, le prix net est de 1 620 DH. Prix marqué 100, remise 10, net 90 : prix marqué = 1 620 × 10090 = 1 800 DH.

Piège classique

On ne retrouve jamais la valeur de départ en retirant le pourcentage au nombre final : 920 − 15 % de 920 = 782 ≠ 800. Il faut toujours raisonner sur la base 100.

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III. Le coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur (CM) permet de passer de la quantité connue à la quantité cherchée par une seule multiplication.

VariationCoefficient multiplicateurExemple
Hausse de t %CM = 1 + t100+ 20 % → × 1,20
Baisse de t %CM = 1 − t100− 15 % → × 0,85
Variations successivesOn multiplie les coefficients+ 10 % puis − 10 % → 1,10 × 0,90 = 0,99, soit − 1 %
Retrouver la valeur de départOn divise par le coefficient920 ÷ 1,15 = 800

Taux de variation global = (CM global − 1) × 100

Les pourcentages ne s'additionnent pas

Deux remises successives de 10 % et 8 % ne font pas 18 % : 0,90 × 0,92 = 0,828, soit une remise globale de 17,2 %, car la seconde remise se calcule sur un montant déjà réduit (calcul « en cascade »).

IV. Le calcul des prix

1. De l'achat à la vente

Prix d'achatprix payé au fournisseur
➜
Coût d'achatprix d'achat + frais d'achat
➜
Coût de revientcoût d'achat + frais de vente
➜
Prix de vente HTcoût + marge
➜
Prix de vente TTCHT + TVA
  • bénéfice calculé sur le prix d'achat (pourcentage direct) : achat 9 000 DH, bénéfice 20 % du prix d'achat : 9 000 × 20 % = 1 800 DH ;
  • bénéfice calculé sur le prix de vente (pourcentage indirect) : achat 24 000 DH, bénéfice 25 % du prix de vente. PV = 100, B = 25, PA = 75 : B = 2575 × 24 000 = 8 000 DH et PV = 32 000 DH.
TauxFormuleExemple (achat 24 000, vente 32 000)
Taux de margeMargeCoût d'achat HT × 1008 000 ÷ 24 000 = 33,33 %
Taux de marqueMargePrix de vente HT × 1008 000 ÷ 32 000 = 25 %

2. Les réductions sur le prix

Le prix de vente public est appelé prix catalogue (PVC), prix brut ou prix marqué. Les réductions se calculent en cascade :

RéductionNatureMotif
RemiseCommercialeImportance de la commande, qualité du client
RabaisCommercialeDéfaut de qualité, non-conformité, retard de livraison
RistourneCommercialeCalculée sur le chiffre d'affaires d'une période
EscompteFinancièrePaiement comptant ou avant l'échéance

Prix net = PVC × (1 − a) × (1 − b)   ;   PVC = Prix net(1 − a) × (1 − b)

Exemple : remises de 10 % et 8 % : PVC = 10090 × 10092 × prix net ; prix net = 90100 × 92100 × PVC.

3. La TVA

La TVA se calcule sur le prix hors taxes (HT), net de toutes les réductions, et s'y ajoute pour donner le prix toutes taxes comprises (TTC). Taux normal au Maroc : 20 % (taux réduits de 7 %, 10 % et 14 %).

TVA = PHT × t  ;  PTTC = PHT × (1 + t)  ;  PHT = PTTC1 + t

Facture

Prix brut : 20 000 DH HT ; remise 10 % ; rabais 5 % ; escompte 2 % ; TVA 20 %.

ÉlémentCalculMontant (DH)
Prix brut20 000,00
Remise 10 %20 000 × 10 %− 2 000,00
Rabais 5 %18 000 × 5 %− 900,00
Net commercial17 100,00
Escompte 2 %17 100 × 2 %− 342,00
Net financier (HT)16 758,00
TVA 20 %16 758 × 20 %+ 3 351,60
Net à payer TTC20 109,60

Vérification par le coefficient multiplicateur : 20 000 × 0,90 × 0,95 × 0,98 × 1,20 = 20 109,60.

Du TTC au HT

Marchandises vendues 19 560 DH TTC (TVA 20 %) : PHT = 19 560 ÷ 1,20 = 16 300 DH ; TVA = 19 560 − 16 300 = 3 260 DH.

V. Les réductions sur le poids

Le poids total d'une marchandise est le poids brut. On en déduit, en cascade :

RéductionMotif
TarePoids de l'emballage
SurtareEmballage supplémentaire
DonAltération naturelle de la marchandise (dessèchement)
FreintePerte de poids pendant le transport ou le stockage
RéfactionAvarie constatée à la livraison
Poids net facturé

Poids brut 5 200 kg ; tare 2 % ; don 3 % ; réfaction 1,5 %.

ÉlémentCalculPoids (kg)
Poids brut5 200,00
Tare 2 %5 200 × 2 %− 104,00
Net 15 096,00
Don 3 %5 096 × 3 %− 152,88
Net 24 943,12
Réfaction 1,5 %4 943,12 × 1,5 %− 74,15
Poids net facturé4 868,97
À retenir
  • Montant = base × t ; taux = montant ÷ base × 100.
  • Valeur de départ : raisonner en base 100 (÷ (100 + t) ou ÷ (100 − t)), ou diviser par le coefficient multiplicateur.
  • Variations successives : on multiplie les coefficients ; les taux ne s'additionnent pas.
  • Remise, rabais, ristourne puis escompte, puis TVA : toujours en cascade.
  • Taux de marge (sur coût d'achat) ≠ taux de marque (sur prix de vente).

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Exercices
Exercice 1 : recherche de pourcentages et de valeurs

1) Un prix passe de 250 à 285 DH : taux de hausse ? 2) Après une baisse de 15 %, un article vaut 3 400 DH : prix initial ? 3) Après une hausse de 8 %, un loyer est de 5 400 DH : loyer initial ? 4) Calculez 2,5 ‰ de 480 000 DH.

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  • 1) 285 − 250250 × 100 = 14 % ;
  • 2) 3 400 × 10085 = 4 000 DH (ou 3 400 ÷ 0,85) ;
  • 3) 5 400 × 100108 = 5 000 DH (ou 5 400 ÷ 1,08) ;
  • 4) 480 000 × 2,5 ÷ 1 000 = 1 200 DH.
Exercice 2 : coefficients multiplicateurs

1) Un prix augmente de 20 % puis baisse de 20 %. Taux de variation global ? 2) Un fournisseur accorde deux remises successives de 10 % et 5 % : taux de remise global ? 3) Un chiffre d'affaires augmente de 5 % puis de 12 % : taux global ?

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  • 1) 1,20 × 0,80 = 0,96 : baisse de 4 % (et non 0 %).
  • 2) 0,90 × 0,95 = 0,855 : remise globale 14,5 %.
  • 3) 1,05 × 1,12 = 1,176 : hausse de 17,6 %.
Exercice 3 : facture

Un client achète 40 articles à 350 DH HT l'un. Il bénéficie d'une remise de 8 % et d'un escompte de 1,5 % pour paiement comptant. TVA 20 %. Établissez la facture et calculez le coefficient multiplicateur entre le prix brut et le net à payer.

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ÉlémentCalculMontant (DH)
Prix brut40 × 35014 000,00
Remise 8 %14 000 × 8 %− 1 120,00
Net commercial12 880,00
Escompte 1,5 %12 880 × 1,5 %− 193,20
Net financier HT12 686,80
TVA 20 %12 686,80 × 20 %+ 2 537,36
Net à payer TTC15 224,16

Coefficient : 0,92 × 0,985 × 1,20 = 1,08744 ; 14 000 × 1,08744 = 15 224,16.

Exercice 4 : poids net

Établissez le poids net à facturer pour une livraison de 36 tonnes brutes : freinte 2 %, tare 1,5 %, réfaction 6 %.

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ÉlémentCalculTonnes
Poids brut36,000000
Freinte 2 %36 × 2 %− 0,720000
Net 135,280000
Tare 1,5 %35,28 × 1,5 %− 0,529200
Net 234,750800
Réfaction 6 %34,7508 × 6 %− 2,085048
Poids net32,665752

Soit 32 665,752 kg (coefficient : 0,98 × 0,985 × 0,94 = 0,907382).

Exercice 5 : prix de vente et marge

Un commerçant achète un article 400 DH HT ; frais d'achat 5 % du prix d'achat ; il veut une marge de 30 % du coût d'achat. TVA 20 %. 1) Calculez le coût d'achat, le prix de vente HT et TTC. 2) Calculez le taux de marque. 3) Quel coefficient multiplicateur permet de passer directement du prix d'achat au prix TTC ?

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  • 1) Coût d'achat = 400 × 1,05 = 420 DH ; PV HT = 420 × 1,30 = 546 DH ; PV TTC = 546 × 1,20 = 655,20 DH.
  • 2) Marge = 546 − 420 = 126 DH ; taux de marque = 126 ÷ 546 × 100 = 23,08 %.
  • 3) 1,05 × 1,30 × 1,20 = 1,638 (400 × 1,638 = 655,20).
Vidéos

Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.

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