Le mode, la médiane et la moyenne donnent une idée simplifiée d'une série, mais rien sur l'étalement des valeurs : deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes. Les caractéristiques de dispersion mesurent cet étalement autour d'une valeur centrale.
Chiffres d'affaires mensuels (DH) du premier semestre :
| Mois | Janv. | Févr. | Mars | Avril | Mai | Juin | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Société A | 10 000 | 40 000 | 30 000 | 80 000 | 60 000 | 260 000 | 80 000 |
| Société B | 64 000 | 68 000 | 77 000 | 74 000 | 98 000 | 99 000 | 80 000 |
Les deux moyennes sont égales (480 000 ÷ 6 = 80 000), mais le chiffre d'affaires de B est beaucoup plus régulier.
| Indicateur | Formule | Signification |
|---|---|---|
| Étendue (champ de variation) E | Valeur maximale − valeur minimale | Écart entre les deux valeurs extrêmes |
| Intervalle interquartile | Q₃ − Q₁ | Étendue des 50 % d'observations du « centre » |
Exemple : E(A) = 260 000 − 10 000 = 250 000 ; E(B) = 99 000 − 64 000 = 35 000 : une étendue élevée par rapport à la moyenne signale une forte dispersion. Pour les salaires journaliers du chapitre 6 : Q₃ − Q₁ = 133,85 − 113,75 = 20,10 DH.
L'étendue ne dépend que de deux valeurs : une seule valeur exceptionnelle la fausse (série 10 ; 390 ; 395 ; 405 ; 410 ; 1 000 : E = 990 alors que quatre valeurs sur six sont entre 390 et 410). L'intervalle interquartile élimine les 25 % plus petites et les 25 % plus grandes valeurs.
Les écarts à la moyenne eᵢ = xᵢ − x̄ ont toujours une somme nulle : leur moyenne ne renseigne pas. On prend donc leur valeur absolue :
EAM = Σ|xᵢ − x̄|n ou, pour un tableau, EAM = Σnᵢ|xᵢ − x̄|N
| Mois | J | F | M | A | M | J | J | A | S | O | N | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| xᵢ | 1 200 | 900 | 800 | 1 400 | 2 000 | 600 | 1 800 | 2 600 | 2 800 | 1 100 | 900 | 700 |
| eᵢ = xᵢ − x̄ | −200 | −500 | −600 | 0 | 600 | −800 | 400 | 1 200 | 1 400 | −300 | −500 | −700 |
| |eᵢ| | 200 | 500 | 600 | 0 | 600 | 800 | 400 | 1 200 | 1 400 | 300 | 500 | 700 |
x̄ = 16 800 ÷ 12 = 1 400 DH ; Σeᵢ = 0 ; Σ|eᵢ| = 7 200.
EAM = 7 20012 = 600 DH
Interprétation : la dépense mensuelle s'écarte en moyenne de 600 DH de la dépense moyenne (1 400 DH).
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La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type σ est la racine carrée de la variance. L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données : c'est l'indicateur de dispersion le plus utilisé.
V = Σnᵢ(xᵢ − x̄)²N = Σnᵢxᵢ²N − x̄² ; σ = √V
La 2e formule (moyenne des carrés moins le carré de la moyenne) est souvent plus rapide.
Carrés des écarts (en milliers) : 40 ; 250 ; 360 ; 0 ; 360 ; 640 ; 160 ; 1 440 ; 1 960 ; 90 ; 250 ; 490 ; total 6 040 000.
V = 6 040 00012 = 503 333,33 ; σ = √503 333,33 = 709,46 DH
| Salaire (DH) | cᵢ | nᵢ | nᵢcᵢ | |cᵢ − x̄| | nᵢ|cᵢ − x̄| | (cᵢ − x̄)² | nᵢ(cᵢ − x̄)² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [0 – 1 000[ | 500 | 30 | 15 000 | 1 085 | 32 550 | 1 177 225 | 35 316 750 |
| [1 000 – 1 500[ | 1 250 | 25 | 31 250 | 335 | 8 375 | 112 225 | 2 805 625 |
| [1 500 – 2 000[ | 1 750 | 14 | 24 500 | 165 | 2 310 | 27 225 | 381 150 |
| [2 000 – 2 500[ | 2 250 | 9 | 20 250 | 665 | 5 985 | 442 225 | 3 980 025 |
| [2 500 – 3 000[ | 2 750 | 12 | 33 000 | 1 165 | 13 980 | 1 357 225 | 16 286 700 |
| [3 000 – 3 500[ | 3 250 | 6 | 19 500 | 1 665 | 9 990 | 2 772 225 | 16 633 350 |
| [3 500 – 4 000[ | 3 750 | 4 | 15 000 | 2 165 | 8 660 | 4 687 225 | 18 748 900 |
| Total | 100 | 158 500 | 81 850 | 94 152 500 |
Interprétation : plus l'écart-type est grand, plus la série est dispersée ; plus il est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne.
L'écart-type dépend de l'unité de mesure et de l'ordre de grandeur des valeurs. Pour comparer la dispersion de séries exprimées dans des unités différentes (ou de moyennes très différentes), on utilise un indicateur relatif, sans unité :
CV = σx̄ (× 100 pour l'exprimer en %)
Salaires de 9 ouvriers en DH : 1 150 ; 1 200 ; 1 600 ; 1 850 ; 2 150 ; 2 200 ; 2 350 ; 2 400 ; 3 000 ; la même série en centimes (× 100).
L'écart-type est 100 fois plus grand en centimes, uniquement à cause de l'unité : les deux séries ont la même dispersion, ce que montre le CV.
| Valeur du CV | Lecture habituelle |
|---|---|
| Proche de 0 (moins de 15 %) | Dispersion faible : série homogène, la moyenne est représentative |
| De 15 % à 30 % | Dispersion moyenne |
| Plus de 30 % (proche de 1 = 100 %) | Dispersion forte : série hétérogène |
Ces seuils sont des repères : on interprète surtout en comparant les CV (le plus petit CV = la série la plus homogène).
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Calculez la variance, l'écart-type et le coefficient de variation des séries : a) 6 1 8 10 5 4 11 3 2 9 7 12 13 (x̄ = 7) ; b) 19 17 7 1 4 24 15 22 10 13 (x̄ = 13,2) ; c) 15 12 17 15 20 15 20 15 15 9 7 (x̄ = 14,55) ; d) 21 25 34 10 20 27 14 20 34 (x̄ = 22,78). Quelle série est la plus homogène ?
| Série | Σxᵢ² | V = Σxᵢ² ÷ n − x̄² | σ | CV |
|---|---|---|---|---|
| a | 819 | 819 ÷ 13 − 49 = 14 | 3,74 | 53,45 % |
| b | 2 270 | 2 270 ÷ 10 − 174,24 = 52,76 | 7,26 | 55,03 % |
| c | 2 488 | 2 488 ÷ 11 − 211,57 = 14,61 | 3,82 | 26,28 % |
| d | 5 203 | 5 203 ÷ 9 − 518,83 = 59,28 | 7,70 | 33,80 % |
La série c est la plus homogène (CV le plus faible : 26,28 %) ; la série b est la plus dispersée.
Ventes journalières pendant 80 jours (milliers de DH) : [0 – 10[ 8 ; [10 – 20[ 20 ; [20 – 30[ 28 ; [30 – 40[ 16 ; [40 – 50[ 8 (x̄ = 24,5 ; Q₁ = 16 ; Q₃ = 32,5). Calculez l'étendue, l'intervalle interquartile, l'EAM, la variance, l'écart-type et le CV. Interprétez.
| Ventes | nᵢ | cᵢ | |cᵢ − x̄| | nᵢ|cᵢ − x̄| | cᵢ² | nᵢcᵢ² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [0 – 10[ | 8 | 5 | 19,5 | 156 | 25 | 200 |
| [10 – 20[ | 20 | 15 | 9,5 | 190 | 225 | 4 500 |
| [20 – 30[ | 28 | 25 | 0,5 | 14 | 625 | 17 500 |
| [30 – 40[ | 16 | 35 | 10,5 | 168 | 1 225 | 19 600 |
| [40 – 50[ | 8 | 45 | 20,5 | 164 | 2 025 | 16 200 |
| Total | 80 | — | — | 692 | — | 58 000 |
Chiffre d'affaires journalier de deux magasins : Casablanca : moyenne 12 000 DH, écart-type 3 000 DH ; Fès : moyenne 4 000 DH, écart-type 1 500 DH. Quel magasin a le chiffre d'affaires le plus régulier ?
CV Casablanca = 3 000 ÷ 12 000 = 25 % ; CV Fès = 1 500 ÷ 4 000 = 37,5 %. Bien que son écart-type soit plus grand, Casablanca est le plus régulier : on compare des dispersions relatives.
Reprenez les chiffres d'affaires des sociétés A et B (moyenne 80 000 DH chacune). Calculez l'écart absolu moyen de chaque société et concluez.
Le chiffre d'affaires de B s'écarte en moyenne cinq fois moins de la moyenne : il est beaucoup plus régulier.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.