Chapitre 6

Les caractéristiques de position

Cours

Les caractéristiques de position (ou de tendance centrale) résument une série par une seule valeur représentative : le mode, la médiane (et les quartiles) et les moyennes.

I. Le mode (Mo)

Le mode

Le mode (ou valeur dominante) est la valeur du caractère qui a l'effectif le plus élevé : la valeur la plus fréquente.

1. Caractère discret

Nombre de pièces de 1 000 ménages

Nombre de pièces (xᵢ)	1	2	3	4	5 et plus
Ménages (nᵢ)	127	273	296	166	138

Le logement le plus fréquent compte 3 pièces : Mo = 3 pièces.

Une distribution peut avoir deux modes (bimodale) ou plusieurs (multimodale). Si toutes les valeurs ont le même effectif, il n'y a pas de mode.

2. Caractère continu

On repère la classe modale (effectif le plus élevé, à classes d'égale amplitude), puis on calcule le mode par interpolation :

Mo = L₁ + d₁d₁ + d₂ × (L₂ − L₁)

L₁ et L₂ : bornes inférieure et supérieure de la classe modale ;
d₁ = nᵢ − nᵢ₋₁ (effectif de la classe modale − effectif de la classe précédente) ;
d₂ = nᵢ − nᵢ₊₁ (effectif de la classe modale − effectif de la classe suivante).

Cette formule s'écrit aussi Mo = L₁ + (L₂ − L₁) × nᵢ − nᵢ₋₁2nᵢ − nᵢ₋₁ − nᵢ₊₁ : c'est la même, car d₁ + d₂ = 2nᵢ − nᵢ₋₁ − nᵢ₊₁.

Heures de travail de 1 000 actifs agricoles

Heures par semaine	[0 – 20[	[20 – 40[	[40 – 60[	[60 – 80[
Effectifs	144	233	454	169

Classe modale [40 – 60[ ; d₁ = 454 − 233 = 221 ; d₂ = 454 − 169 = 285.

Mo = 40 + 221221 + 285 × 20 = 40 + 8,735 = 48,735 heures

Interprétation : la durée hebdomadaire la plus fréquente est d'environ 48,7 heures.

Graphiquement, sur l'histogramme, on relie en croix les coins supérieurs de la classe modale à ceux des classes voisines : l'abscisse du point d'intersection est le mode.

Détermination graphique du mode (Mo ≈ 48,7)

Classes d'amplitudes inégales

Le mode n'a de sens qu'avec des classes de même amplitude : sinon on cherche la classe modale et on calcule d₁ et d₂ avec les effectifs corrigés (chapitre 5).

II. La médiane (Me)

La médiane

La médiane est la valeur du caractère qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : 50 % des observations lui sont inférieures et 50 % supérieures.

1. Série de quelques valeurs

On classe les valeurs par ordre croissant :

n impair : la médiane est la valeur de rang n + 12 (ou (n − 1) ÷ 2 + 1) ;
n pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs n2 et n2 + 1 (médiane « calculée »).

Médiane réelle et médiane calculée

n impair : capital (milliers de DH) de 17 sociétés, classé : 10 ; 10 ; 20 ; 20 ; 30 ; 50 ; 50 ; 50 ; 90 ; 100 ; 100 ; 100 ; 100 ; 200 ; 200 ; 200 ; 300. Rang (17 + 1) ÷ 2 = 9 : Me = 90 ; 8 sociétés ont un capital inférieur à 90 000 DH et 8 un capital supérieur.

n pair : capacités de 10 sucreries (milliers de tonnes) : 30 ; 35 ; 35 ; 45 ; 50 ; 51 ; 78 ; 80 ; 90 ; 500. Me = (50 + 51) ÷ 2 = 50,5.

Valeurs répétées au milieu

Échéances de 11 effets (jours) : 12 ; 15 ; 20 ; 20 ; 30 ; 30 ; 30 ; 30 ; 30 ; 60 ; 90. La valeur de rang 6 donne Me = 30 jours ; mais 4 observations lui sont inférieures et seulement 2 supérieures : la médiane ne partage pas la série en deux groupes strictement égaux. Certains manuels disent alors que la série « n'a pas de médiane » ; en pratique, on retient Me = 30 en signalant cette limite.

2. Caractère discret (tableau)

On calcule le rang N ÷ 2 et on cherche la première valeur dont l'ECC atteint ou dépasse ce rang.

Médiane du nombre de pièces

Pièces (xᵢ)	nᵢ	ECC
1	127	127
2	273	400
3	296	696
4	166	862
5 et plus	138	1 000

Rang = 1 000 ÷ 2 = 500 ; le premier ECC ≥ 500 est 696 → Me = 3 pièces. Remarque : 400 ménages ont moins de 3 pièces et 304 plus de 3 pièces ; pour une variable discrète, la médiane partage rarement la série de façon exacte.

3. Caractère continu : interpolation linéaire

Rang = N ÷ 2 ; la classe médiane est la première dont l'ECC atteint ou dépasse ce rang. On suppose les observations réparties uniformément dans la classe :

Me = L₁ + (L₂ − L₁) × N ÷ 2 − C₁C₂ − C₁

C₁ : ECC de la classe précédant la classe médiane ; C₂ : ECC de la classe médiane (C₂ − C₁ = nᵢ de la classe médiane).

Médiane des heures de travail

Heures	nᵢ	ECC
[0 – 20[	144	144
[20 – 40[	233	377
[40 – 60[	454	831
[60 – 80[	169	1 000

Rang 500 → classe [40 – 60[ (C₁ = 377 ; C₂ = 831).

Me = 40 + 20 × 500 − 377831 − 377 = 40 + 5,42 = 45,42 heures

Interprétation : 500 personnes travaillent moins de 45,42 heures par semaine et 500 plus de 45,42 heures.

Graphiquement, la médiane est l'abscisse du point de la courbe cumulative croissante d'ordonnée N ÷ 2, ou l'abscisse du point d'intersection des courbes croissante et décroissante.

III. Les quartiles (et déciles)

Ce sont des caractéristiques de position calculées comme la médiane ; seul le rang change :

Indicateur	Rang	Signification
Q₁ (1^er quartile)	N ÷ 4	25 % des observations lui sont inférieures
Q₂ = Me	N ÷ 2	50 % des observations lui sont inférieures
Q₃ (3^e quartile)	3N ÷ 4	75 % des observations lui sont inférieures
Déciles D₁ … D₉	k × N ÷ 10	10 %, 20 % … 90 % des observations

Les déciles et les centiles n'ont de sens que pour un grand nombre d'observations (variable classée).

Salaire journalier de 80 salariés

Classe (DH)	nᵢ	ECC
[90 – 100[	5	5
[100 – 110[	9	14
[110 – 120[	16	30
[120 – 130[	25	55
[130 – 140[	13	68
[140 – 150[	7	75
[150 – 160[	3	78
[160 – 170[	2	80

Q₁ : rang 20 → [110 – 120[ : Q₁ = 110 + 10 × 20 − 1416 = 113,75 DH ;
Me : rang 40 → [120 – 130[ : Me = 120 + 10 × 40 − 3025 = 124 DH ;
Q₃ : rang 60 → [130 – 140[ : Q₃ = 130 + 10 × 60 − 5513 = 133,85 DH.

IV. Les moyennes

1. La moyenne arithmétique x̄

Cas	Formule
Moyenne simple (valeurs isolées)	x̄ = Σxᵢn
Moyenne pondérée (caractère discret)	x̄ = ΣnᵢxᵢΣnᵢ = Σfᵢxᵢ
Caractère continu	même formule avec les centres de classes cᵢ

Trois calculs de moyenne

Simple : 10 sucreries : x̄ = 99410 = 99,4 milliers de tonnes. La moyenne cache la disparité (de 30 à 500) : elle est tirée vers le haut par la valeur 500, alors que la médiane (50,5) ne l'est pas.

Capital xᵢ (milliers DH)	10	20	30	50	90	100	200	300	Total
Sociétés nᵢ	2	2	1	3	1	4	3	1	17
nᵢxᵢ	20	40	30	150	90	400	600	300	1 630

Pondérée : x̄ = 1 63017 = 95,88, soit un apport moyen de 95 880 DH.

Heures	cᵢ	nᵢ	nᵢcᵢ
[0 – 20[	10	144	1 440
[20 – 40[	30	233	6 990
[40 – 60[	50	454	22 700
[60 – 80[	70	169	11 830
Total	—	1 000	42 960

Classes : x̄ = 42 9601 000 = 42,96 heures par semaine.

Propriétés : la moyenne de plusieurs groupes réunis est la moyenne pondérée de leurs moyennes par leurs effectifs ; si l'on ajoute une constante à toutes les valeurs, la moyenne augmente de cette constante ; si on les multiplie par un nombre, la moyenne est multipliée par ce nombre.

2. Les autres moyennes

Moyenne	Formule	Utilisation
Géométrique G	G = ⁿ√(x₁ × x₂ × … × xₙ) ; log G = Σnᵢ log xᵢN	Taux d'évolution, croissance, intérêts composés
Harmonique H	H = NΣ(nᵢ ÷ xᵢ)	Rapports (vitesses en km/h, prix unitaires, rendements)
Quadratique Q	Q = √Σnᵢxᵢ²N	Surfaces, écarts (donne plus de poids aux grandes valeurs)

Vitesse moyenne (moyenne harmonique)

Un cycliste parcourt 30 km à 30 km/h, puis 30 km à 15 km/h. Sa vitesse moyenne n'est pas (30 + 15) ÷ 2 = 22,5 km/h : il met 1 h puis 2 h, soit 60 km en 3 h.

H = 6030 ÷ 30 + 30 ÷ 15 = 603 = 20 km/h

Taux moyen (moyenne géométrique)

Un chiffre d'affaires augmente de 10 % puis de 21 % : coefficients 1,10 et 1,21. Coefficient moyen G = √(1,10 × 1,21) = √1,331 = 1,1537, soit une hausse moyenne de 15,37 % par an (et non 15,5 %).

Ordre des moyennes

Pour une même série de valeurs positives : H ≤ G ≤ x̄ ≤ Q. Pour une distribution symétrique, Mo = Me = x̄ ; si elle est étalée vers la droite, Mo < Me < x̄.

À retenir

Mode : valeur la plus fréquente ; Mo = L₁ + d₁ ÷ (d₁ + d₂) × a.
Médiane : valeur du milieu ; Me = L₁ + a × (N ÷ 2 − C₁) ÷ (C₂ − C₁) ; quartiles avec les rangs N ÷ 4 et 3N ÷ 4.
Moyenne arithmétique : Σnᵢxᵢ ÷ N avec les centres de classes ; harmonique pour les vitesses, géométrique pour les taux.

Exercices

Exercice 1 : séries simples

Pour chaque série, calculez la moyenne, la médiane et le mode : a) 6 1 8 10 5 4 11 3 2 9 7 12 13 ; b) 19 17 7 1 4 24 15 22 10 13 ; c) 15 12 17 15 20 15 20 15 15 9 7 ; d) 21 25 34 10 20 27 14 20 34 ; e) 19 17 20 18 17 17 20 19 15 16 20 23 22 14 15 24.

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Série	n	x̄	Me	Mo
a	13	91 ÷ 13 = 7	7 (7^e valeur)	Pas de mode (valeurs toutes différentes)
b	10	132 ÷ 10 = 13,2	(13 + 15) ÷ 2 = 14	Pas de mode
c	11	160 ÷ 11 = 14,55	15 (6^e valeur)	15 (5 fois)
d	9	205 ÷ 9 = 22,78	21 (5^e valeur)	Deux modes : 20 et 34
e	16	296 ÷ 16 = 18,5	(18 + 19) ÷ 2 = 18,5	17 et 20 (3 fois chacun)

Exercice 2 : série continue

Ventes journalières pendant 80 jours (milliers de DH) : [0 – 10[ 8 ; [10 – 20[ 20 ; [20 – 30[ 28 ; [30 – 40[ 16 ; [40 – 50[ 8. Calculez et interprétez le mode, la médiane, Q₁, Q₃ et la moyenne.

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Ventes	nᵢ	ECC	cᵢ	nᵢcᵢ
[0 – 10[	8	8	5	40
[10 – 20[	20	28	15	300
[20 – 30[	28	56	25	700
[30 – 40[	16	72	35	560
[40 – 50[	8	80	45	360
Total	80	—	—	1 960

Mode : classe [20 – 30[ ; d₁ = 8 ; d₂ = 12 : Mo = 20 + 820 × 10 = 24, soit 24 000 DH (vente la plus fréquente).
Médiane : rang 40 → [20 – 30[ : Me = 20 + 10 × 40 − 2828 = 24,29 : la moitié des jours, les ventes sont inférieures à 24 290 DH.
Q₁ : rang 20 → [10 – 20[ : 10 + 10 × 20 − 820 = 16 ; Q₃ : rang 60 → [30 – 40[ : 30 + 10 × 60 − 5616 = 32,5.
Moyenne : 1 960 ÷ 80 = 24,5, soit 24 500 DH de ventes moyennes par jour.

Exercice 3 : tailles de 50 étudiants

Taille (cm) : [150 – 160[ 16 ; [160 – 165[ 6 ; [165 – 170[ 12 ; [170 – 175[ 14 ; [175 – 180[ 2. Calculez la taille moyenne et la classe modale (attention aux amplitudes).

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Taille	nᵢ	cᵢ	nᵢcᵢ	n'ᵢ (réf. 5)
[150 – 160[	16	155	2 480	8
[160 – 165[	6	162,5	975	6
[165 – 170[	12	167,5	2 010	12
[170 – 175[	14	172,5	2 415	14
[175 – 180[	2	177,5	355	2
Total	50	—	8 235	—

x̄ = 8 235 ÷ 50 = 164,7 cm.
Classe modale (effectifs corrigés) : [170 – 175[ (14) ; d₁ = 14 − 12 = 2 ; d₂ = 14 − 2 = 12 : Mo = 170 + 214 × 5 = 170,71 cm. Sans correction, on aurait choisi à tort [150 – 160[ (16).

Exercice 4 : médiane et quartiles

Taille de 50 étudiants : [150 – 160[ 15 ; [160 – 165[ 5 ; [165 – 170[ 10 ; [170 – 175[ 18 ; [175 – 180[ 2. Calculez la médiane, Q₁ et Q₃.

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ECC : 15 ; 20 ; 30 ; 48 ; 50.

Me : rang 25 → [165 – 170[ : 165 + 5 × 25 − 2010 = 167,5 cm.
Q₁ : rang 12,5 → [150 – 160[ : 150 + 10 × 12,5 − 015 = 158,33 cm.
Q₃ : rang 37,5 → [170 – 175[ : 170 + 5 × 37,5 − 3018 = 172,08 cm.

Vidéos

Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.

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