Chapitre 1

Les intérêts simples

Cours

Les mathématiques financières étudient l'évolution de la valeur de l'argent dans le temps : 1 000 DH disponibles aujourd'hui ne valent pas 1 000 DH disponibles dans un an, car on peut les placer et toucher un intérêt. Ce premier chapitre traite de l'intérêt simple, utilisé pour les opérations à court terme (moins d'un an).

I. Définition et caractéristiques

L'intérêt

L'intérêt est la rémunération d'un prêt d'argent : c'est le prix payé par l'emprunteur au prêteur pour l'utilisation d'un capital pendant une durée donnée. Il dépend de trois éléments : le capital prêté, le taux d'intérêt et la durée du prêt.

Pourquoi paie-t-on un intérêt ?

la privation de consommation : le prêteur renonce à utiliser son argent pendant la durée du prêt ; l'intérêt le dédommage ;
le risque : l'emprunteur peut ne pas rembourser (insolvabilité) ; plus le risque est grand, plus le taux est élevé ;
l'inflation : entre le prêt et le remboursement, la valeur de la monnaie diminue ; l'intérêt compense cette perte de pouvoir d'achat.

Capitalisation et actualisation

Deux sommes disponibles à des dates différentes ne peuvent être comparées que si on les ramène à la même date :

capitaliser, c'est avancer dans le temps une somme présente pour calculer sa valeur acquise (valeur future) ;
actualiser, c'est reculer dans le temps une somme future pour calculer sa valeur actuelle (valeur présente).

Ces deux techniques sont utilisées dans tout le module, à intérêts simples (court terme) comme à intérêts composés (long terme).

L'intérêt simple

Un capital est placé à intérêt simple lorsque l'intérêt est calculé uniquement sur le capital initial, qui reste invariable pendant toute la durée du placement. Les intérêts ne sont pas ajoutés au capital pour produire à leur tour des intérêts.

Caractéristiques de l'intérêt simple :

le capital initial reste invariable ;
les intérêts sont égaux d'une période à l'autre ;
le montant des intérêts est proportionnel au capital, au taux et à la durée ;
les intérêts sont en général versés en une seule fois, à la fin du placement.

Utilisation de l'intérêt simple : opérations à court terme ; prêts entre banques ou intermédiaires financiers ; comptes courants et comptes sur carnet ; prêts à la consommation ; escompte des effets de commerce (chapitre 2).

II. Formules de calcul de l'intérêt simple

Notations :

C : le capital placé (en DH) ;
t : le taux d'intérêt annuel pour 100 DH (exemple : t = 9 pour 9 %) ; on note aussi i = t ÷ 100 le taux pour 1 DH (i = 0,09) ;
n, m ou j : la durée en années, en mois ou en jours ;
I : l'intérêt produit.

Durée exprimée en	Formule avec t (pour 100)	Formule avec i (pour 1)
années (n)	I = C × t × n100	I = C × i × n
mois (m)	I = C × t × m1 200	I = C × i × m12
jours (j)	I = C × t × j36 000	I = C × i × j360

Année commerciale et année civile

En pratique (banques, commerce), on utilise l'année commerciale de 360 jours (d'où 36 000 = 360 × 100). Si l'énoncé précise l'année civile, on divise par 36 500 (365 jours).

Calcul du nombre de jours

On compte les jours réels de chaque mois (31, 30, 28 ou 29) ; on ne compte pas le jour de départ mais on compte le jour d'arrivée.

Nombre de jours du 13 mars au 25 juin

Mois	Calcul	Jours
Mars	31 − 13	18
Avril	mois complet	30
Mai	mois complet	31
Juin	jusqu'au 25	25
Total		104

Calcul d'un intérêt simple

Un capital de 18 000 DH est placé au taux annuel de 10,5 % pendant 9 mois.

I = 18 000 × 10,5 × 91 200 = 1 417,50 DH

Le même capital placé pendant 120 jours : I = 18 000 × 10,5 × 12036 000 = 630 DH.

Calcul du capital, du taux ou de la durée

À partir de la formule I = C × t × j36 000, on isole l'élément inconnu :

C = I × 36 000t × j ; t = I × 36 000C × j ; j = I × 36 000C × t

Calcul du taux

Un capital de 62 000 DH a rapporté 948,60 DH d'intérêt en 60 jours.

t = 948,60 × 36 00062 000 × 60 = 9,18 %

III. La valeur acquise (ou valeur définitive)

Valeur acquise

La valeur acquise (VA) d'un capital à la fin du placement est la somme du capital et des intérêts produits.

VA = C + I = C + C × i × n = C (1 + i × n)

Avec une durée en jours : VA = C (1 + t × j36 000).

Valeur acquise

Un individu place 82 500 DH pendant 7 mois au taux annuel de 11 %.

I = 82 500 × 11 × 71 200 = 5 293,75 DH ; VA = 82 500 + 5 293,75 = 87 793,75 DH

IV. La méthode des nombres et des diviseurs fixes

Lorsqu'il faut calculer l'intérêt global produit par plusieurs capitaux placés au même taux pendant des durées différentes, on sépare les termes variables (C et j) du terme fixe (t) :

I = C × t × j36 000 = C × j36 000 ÷ t = ND

N = C × j : le nombre ;
D = 36 000 ÷ t : le diviseur fixe.

L'intérêt global est alors : I = ΣN ÷ D.

Intérêt global de trois capitaux à 9 %

Diviseur fixe : D = 36 000 ÷ 9 = 4 000.

Capital (C)	Durée (j)	Nombre (C × j)
12 000	40	480 000
8 000	75	600 000
20 000	90	1 800 000
Total		2 880 000

I = 2 880 0004 000 = 720 DH

V. Le taux moyen de plusieurs placements

Taux moyen

Le taux moyen de plusieurs placements (capitaux, taux et durées différents) est le taux unique qui, appliqué à l'ensemble de ces placements, donnerait le même intérêt global.

En écrivant que Σ C_k × T_m × j_k ÷ 36 000 = Σ C_k × t_k × j_k ÷ 36 000, on obtient :

T_m = Σ C_k × t_k × j_kΣ C_k × j_k

Taux moyen

Capital	Taux	Durée (j)	C × j	C × t × j
10 000	8	60	600 000	4 800 000
15 000	10	90	1 350 000	13 500 000
5 000	12	30	150 000	1 800 000
Total			2 100 000	20 100 000

T_m = 20 100 0002 100 000 = 9,57 %

VI. Intérêt précompté et taux effectif de placement

Il existe deux façons de payer les intérêts :

intérêt postcompté ou à terme échu (cas normal) : l'intérêt est payé à la fin du prêt, avec le remboursement du capital ;
intérêt précompté ou à terme à échoir : l'intérêt est payé d'avance, le jour où le prêt est conclu (exemple : les bons de caisse). L'emprunteur ne reçoit donc que C − I.

Taux effectif de placement

Avec un intérêt précompté, le prêteur n'engage réellement que C − I pour gagner I. Le taux effectif (Te) est le taux qui, appliqué à la somme réellement engagée, donne le même intérêt. Il est toujours supérieur au taux nominal.

(C − I) × Te × n = I ⇒ Te = I(C − I) × n

Formule directe avec le taux nominal t (en %) et une durée en mois : Te = t1 − t × m ÷ 1 200 (en jours : remplacer m ÷ 1 200 par j ÷ 36 000). Exemple : 30 000 DH placés 6 mois à 10 % précomptés : Te = 10 ÷ (1 − 10 × 6 ÷ 1 200) = 10 ÷ 0,95 = 10,53 %.

Taux effectif

Une personne place à intérêt précompté 10 000 DH pour 1 an au taux de 10 %.

Intérêt : I = 10 000 × 10 % × 1 = 1 000 DH, reçu immédiatement ;
somme réellement engagée : 10 000 − 1 000 = 9 000 DH ;
dans un an, elle récupère 10 000 DH : elle a gagné 1 000 DH avec 9 000 DH.

Te = 1 0009 000 × 1 = 11,11 % (supérieur au taux nominal de 10 %)

À retenir

I = C × t × j ÷ 36 000 (jours), C × t × m ÷ 1 200 (mois), C × t × n ÷ 100 (années).
VA = C + I = C (1 + i × n).
Méthode des nombres : I = ΣN ÷ D avec N = C × j et D = 36 000 ÷ t.
Taux moyen : T_m = ΣCtj ÷ ΣCj.
Intérêt précompté : Te = I ÷ [(C − I) × n] > taux nominal.

Exercices

Exercice 1 : compléter le tableau

Complétez le tableau suivant (année de 360 jours sauf indication contraire) :

N°	Capital (DH)	Taux annuel	Durée	Année	Intérêt (DH)	Valeur acquise (DH)
1	18 000	10,5 %	9 mois	360	?	?
2	?	9,5 %	?	360	665	21 665
3	62 000	?	60 jours	360	948,60	?
4	144 000	?	180 jours	360	?	152 640
5	14 600	11,65 %	73 jours	?	340,18	?
6	58 400	12,2 %	?	365	?	61 249,92

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N°	Calcul	Résultat
1	I = 18 000 × 10,5 × 9 ÷ 1 200 ; VA = 18 000 + 1 417,50	I = 1 417,50 ; VA = 19 417,50
2	C = VA − I = 21 665 − 665 ; j = 665 × 36 000 ÷ (21 000 × 9,5)	C = 21 000 ; j = 120 jours
3	t = 948,60 × 36 000 ÷ (62 000 × 60) ; VA = 62 000 + 948,60	t = 9,18 % ; VA = 62 948,60
4	I = 152 640 − 144 000 ; t = 8 640 × 36 000 ÷ (144 000 × 180)	I = 8 640 ; t = 12 %
5	année = 14 600 × 11,65 × 73 ÷ (340,18 × 100) ; VA = 14 600 + 340,18	365 jours ; VA = 14 940,18
6	I = 61 249,92 − 58 400 ; j = 2 849,92 × 36 500 ÷ (58 400 × 12,2)	I = 2 849,92 ; j = 146 jours

Interprétation : pour un même capital, l'intérêt augmente avec le taux et la durée ; à l'inverse, connaissant l'intérêt, on retrouve toujours l'élément manquant en isolant l'inconnue dans I = C × t × j ÷ 36 000.

Exercice 2 : deux capitaux

Deux capitaux sont placés à intérêt simple pendant 2 ans : le plus petit à 11 %, l'autre à 9 %. Le plus petit a rapporté 280 DH de plus que l'autre, et la différence entre les deux capitaux est de 1 000 DH. Trouvez les deux capitaux.

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Soit C₁ le plus petit capital et C₂ le plus grand :

(1) C₂ − C₁ = 1 000 ⇒ C₂ = C₁ + 1 000 ;
(2) C₁ × 11 × 2100 − C₂ × 9 × 2100 = 280 ⇒ 22 C₁ − 18 C₂ = 28 000.

On remplace (1) dans (2) : 22 C₁ − 18 (C₁ + 1 000) = 28 000 ⇒ 4 C₁ = 46 000.

C₁ = 11 500 DH et C₂ = 12 500 DH.

Vérification : 11 500 × 22 % = 2 530 ; 12 500 × 18 % = 2 250 ; 2 530 − 2 250 = 280 DH.

Exercice 3 : nombres et diviseur fixe

Un commerçant place au taux de 12 % les sommes suivantes jusqu'au 31 décembre : 25 000 DH le 2 octobre, 18 000 DH le 15 novembre et 30 000 DH le 1^er décembre. Calculez l'intérêt global par la méthode des nombres.

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Diviseur fixe : D = 36 000 ÷ 12 = 3 000.

Capital	Durée jusqu'au 31/12	Nombre
25 000	29 + 30 + 31 = 90 j	2 250 000
18 000	15 + 31 = 46 j	828 000
30 000	30 j	900 000
Total		3 978 000

I = 3 978 0003 000 = 1 326 DH

Exercice 4 : taux moyen

Trois capitaux sont placés : 40 000 DH à 6 % pendant 3 mois, 25 000 DH à 8 % pendant 5 mois et 35 000 DH à 9 % pendant 2 mois. Calculez l'intérêt global et le taux moyen de ces placements.

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Capital	Taux	Durée (mois)	C × m	C × t × m
40 000	6	3	120 000	720 000
25 000	8	5	125 000	1 000 000
35 000	9	2	70 000	630 000
Total			315 000	2 350 000

Intérêt global : I = 2 350 000 ÷ 1 200 = 1 958,33 DH.

T_m = 2 350 000315 000 = 7,46 %

Vérification : 315 000 × 7,46 ÷ 1 200 ≈ 1 958 DH.

Exercice 5 : bon de caisse à intérêt précompté

Une entreprise souscrit un bon de caisse de 50 000 DH à 6 mois, au taux de 8 %, intérêt précompté. Calculez la somme versée par l'entreprise et le taux effectif de placement.

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Intérêt : I = 50 000 × 8 × 6 ÷ 1 200 = 2 000 DH, payé d'avance.

Somme versée par l'entreprise : 50 000 − 2 000 = 48 000 DH ; elle récupère 50 000 DH dans 6 mois.

Te = 2 000 × 1 20048 000 × 6 = 8,33 %

Vidéos

Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.

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