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M203 : Mathématiques financières

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Chapitres

1 Les intérêts simples Cours 5 exercices 2 L'escompte commercial et l'équivalence des effets Cours 5 exercices 3 Les comptes courants et d'intérêts Cours 3 exercices 4 Les intérêts composés Cours 6 exercices 5 Les annuités Cours 5 exercices 6 Les emprunts indivis Cours 5 exercices 7 Le choix des investissements : VAN, IP, DRCI et TRI Cours 4 exercices

Évaluation du module

1 EFM 1 : Sujet type A : SOMADIS (intérêts simples, escompte, intérêts composés) Intérêts simplesEscompteBordereauÉquivalenceIntérêts composésTaux équivalent

Durée : 2 h 30 — Barème : 40 points (théorie 10 pts, pratique 30 pts). Calculatrice autorisée.

La société SOMADIS SARL, distributeur de matériel électroménager à Fès, vous accueille en stage au service financier. Le responsable vous confie les travaux suivants.

Partie théorique (10 points)

  1. Définissez l'intérêt simple et l'intérêt composé. Dans quel type d'opérations utilise-t-on chacun ? (3 pts)
  2. Qu'est-ce que l'agio ? Citez ses composantes. (2 pts)
  3. Distinguez escompte commercial et escompte rationnel. Lequel est le plus élevé ? (2 pts)
  4. Distinguez taux proportionnel et taux équivalent. (2 pts)
  5. Quand dit-on que deux effets sont équivalents ? (1 pt)

Partie pratique (30 points)

Dossier 1 : Bordereau d'escompte (12 points)

Le 20 mars, SOMADIS remet à l'escompte à sa banque les effets suivants :

EffetNominal (DH)Échéance
E124 00030 avril
E236 00031 mai
E35 00025 mars

Conditions de la banque : taux d'escompte 12 % ; commission d'endos 0,6 % ; commission de service 10 DH par effet ; 1 jour de banque ; minimum 10 jours ; TVA 10 %.

  1. Calculez le nombre de jours retenu pour chaque effet. (3 pts)
  2. Établissez le bordereau d'escompte (méthode des nombres) et calculez la valeur nette. (7 pts)
  3. Calculez la durée moyenne d'escompte (Σ V × j ÷ Σ V) puis le taux de revient de l'opération. (2 pts)

Dossier 2 : Équivalence des effets (8 points)

  1. Le 1er mai, un client de SOMADIS demande à remplacer un effet de 50 000 DH à échéance du 30 juin par deux effets de même nominal, à échéance du 31 juillet et du 31 août. Taux 12 %. Calculez le nominal commun des deux effets. (5 pts)
  2. Un autre client doit trois effets : 10 000 DH à 30 jours, 20 000 DH à 45 jours et 30 000 DH à 75 jours. Il propose un effet unique de 60 000 DH. Calculez son échéance. Comment appelle-t-on cette échéance ? (3 pts)

Dossier 3 : Placement à intérêts composés (10 points)

SOMADIS dispose d'un excédent de trésorerie de 80 000 DH qu'elle place pour 6 ans au taux annuel de 7,5 %.

  1. Calculez la valeur acquise et les intérêts du placement (capitalisation annuelle). (2 pts)
  2. Calculez le taux trimestriel équivalent. Quelle serait la valeur acquise avec une capitalisation trimestrielle au taux proportionnel ? Commentez. (4 pts)
  3. Un autre placement de 40 000 DH a donné 55 000 DH en 5 ans. Quel est son taux annuel ? (2 pts)
  4. En combien de temps un capital double-t-il à 8 % ? (2 pts)
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Partie théorique

  1. À intérêt simple, l'intérêt est calculé uniquement sur le capital initial, qui reste invariable : il sert pour les opérations à court terme (moins d'un an : escompte, comptes courants, prêts à court terme). À intérêts composés, l'intérêt de chaque période s'ajoute au capital et produit à son tour des intérêts : il sert pour le moyen et long terme (placements, emprunts, annuités, investissements).
  2. L'agio est l'ensemble des retenues de la banque lors de l'escompte : l'escompte (intérêt), les commissions (endos, service, manipulation…) et la TVA (10 %).
  3. L'escompte commercial est calculé sur la valeur nominale (E = V t j ÷ 36 000) ; l'escompte rationnel est calculé sur la valeur actuelle (Er = V t j ÷ (36 000 + t j)). L'escompte commercial est toujours le plus élevé.
  4. Deux taux sont proportionnels si leur rapport est égal au rapport des durées des périodes (it = i ÷ 4). Ils sont équivalents s'ils donnent la même valeur acquise à intérêts composés, pour un même capital et une même durée (it = (1 + i)1/4 − 1).
  5. Deux effets sont équivalents à une date donnée si, escomptés à cette date au même taux, ils ont la même valeur actuelle.

Dossier 1

EffetNominalJoursNombre (V × j)
E124 000(31 − 20) + 30 + 1 = 421 008 000
E236 00011 + 30 + 31 + 1 = 732 628 000
E35 0005 + 1 = 6 → minimum 1050 000
Total65 0003 686 000
ÉlémentCalculMontant
Escompte3 686 000 × 12 ÷ 36 0001 228,67
Commission d'endos3 686 000 × 0,6 ÷ 36 00061,43
Commission de service10 × 330,00
Agio HT1 320,10
TVA 10 %1 320,10 × 10 %132,01
Agio TTC1 452,11
Valeur nette65 000 − 1 452,1163 547,89

3) Durée moyenne : 3 686 000 ÷ 65 000 = 56,71 jours. Taux de revient = 1 452,11 × 36 000 ÷ (63 547,89 × 56,71) = 14,51 % : le coût réel dépasse nettement le taux affiché de 12 %.

Dossier 2

1) Jours à partir du 1er mai : 30 juin → 60 j ; 31 juillet → 91 j ; 31 août → 122 j.

50 000 (1 − 12 × 6036 000) = V (1 − 12 × 9136 000) + V (1 − 12 × 12236 000)

49 000 = V × (0,969667 + 0,959333) = 1,929 V ⇒ V = 25 401,76 DH.

2) Le nominal unique est égal à la somme des nominaux : c'est l'échéance moyenne. j = (10 000 × 30 + 20 000 × 45 + 30 000 × 75) ÷ 60 000 = 3 450 000 ÷ 60 000 = 57,5 jours (soit 58 jours).

Dossier 3

  1. C6 = 80 000 × 1,0756 = 123 464,12 DH ; intérêts = 43 464,12 DH.
  2. Taux trimestriel équivalent : it = 1,0751/4 − 1 = 1,8245 % (il donne la même valeur acquise : 123 464,12 DH). Taux proportionnel : 7,5 ÷ 4 = 1,875 % ; sur 24 trimestres : 80 000 × 1,0187524 = 124 943,28 DH. Le taux proportionnel donne une valeur acquise plus élevée (1 479,16 DH de plus) que le taux annuel : il n'est pas équivalent.
  3. (1 + i)5 = 55 000 ÷ 40 000 = 1,375 ⇒ i = 1,3751/5 − 1 = 6,58 %.
  4. 1,08n = 2 ⇒ n = log 2 ÷ log 1,08 = 9,0065 ans ⇒ environ 9 ans et 2 jours.
2 EFM 2 : Sujet type B : ATLAS TRANSPORT (annuités et emprunts indivis) AnnuitésValeur acquiseValeur actuelleEmprunt indivisTVAAmortissements constantsCapital restant dû

Durée : 2 h 30 — Barème : 40 points (théorie 10 pts, pratique 30 pts). Calculatrice autorisée.

ATLAS TRANSPORT SA (Casablanca) veut renouveler sa flotte de camions. Le directeur financier vous demande d'étudier les solutions de financement.

Partie théorique (10 points)

  1. Définissez : annuité, amortissement d'un emprunt, capital restant dû. (3 pts)
  2. Quelle est la différence entre un emprunt indivis et un emprunt obligataire ? (2 pts)
  3. Distinguez différé total et différé partiel. (2 pts)
  4. Pourquoi calcule-t-on l'annuité d'un emprunt avec le taux TTC ? (1 pt)
  5. Avec des annuités constantes, quelle relation existe entre deux amortissements successifs ? (2 pts)

Partie pratique (30 points)

Dossier 1 : Constitution d'une épargne (8 points)

  1. L'entreprise a versé 10 annuités de 15 000 DH à la fin de chaque année sur un compte rémunéré à 8 %. Quel capital a-t-elle constitué au dernier versement ? (3 pts)
  2. Quelle somme unique, placée un an avant le premier versement, aurait donné le même capital ? (2 pts)
  3. Pour constituer 500 000 DH en 12 ans à 7 %, quelle annuité faut-il verser : a) en fin d'année ? b) en début d'année ? (3 pts)

Dossier 2 : Emprunt par annuités constantes (14 points)

ATLAS TRANSPORT emprunte 600 000 DH sur 5 ans au taux de 11 %, TVA 10 % sur les intérêts, remboursables par annuités constantes de fin d'année.

  1. Calculez le taux TTC et l'annuité. (3 pts)
  2. Construisez le tableau d'amortissement. (8 pts)
  3. Retrouvez par une formule le capital restant dû après le paiement de la 3e annuité. (3 pts)

Dossier 3 : Amortissements constants (8 points)

  1. La banque propose aussi un remboursement par amortissements constants (mêmes conditions). Construisez le tableau d'amortissement. (6 pts)
  2. Comparez le coût des deux solutions et conseillez l'entreprise. (2 pts)
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Partie théorique

  1. Annuité : somme versée à intervalles réguliers (pour un emprunt : intérêt + amortissement). Amortissement : partie du capital emprunté remboursée à chaque échéance. Capital restant dû : partie du capital non encore remboursée après une échéance (capital début − amortissement).
  2. L'emprunt indivis est contracté auprès d'un seul prêteur (une banque) ; l'emprunt obligataire est divisé en titres (obligations) souscrits par de nombreux prêteurs ; il est réservé aux grandes entreprises et à l'État.
  3. Différé total : aucun versement pendant le différé, les intérêts s'ajoutent à la dette (C × (1 + i)d). Différé partiel : l'emprunteur paie seulement les intérêts (et la TVA) ; la dette reste égale à C.
  4. Parce que l'emprunteur paie, en plus des intérêts, la TVA (10 %) sur ces intérêts : pour que la somme intérêt + TVA + amortissement reste constante, on calcule l'annuité au taux i × 1,10.
  5. Les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i) : Mk+1 = Mk × (1 + i).

Dossier 1

  1. V10 = 15 000 × 1,0810 − 10,08 = 217 298,44 DH.
  2. V0 = 15 000 × 1 − 1,08−100,08 = 100 651,22 DH (vérification : 100 651,22 × 1,0810 ≈ 217 298,44).
  3. a) a = 500 000 × 0,071,0712 − 1 = 27 950,99 DH ; b) en début d'année, chaque versement est placé un an de plus : a' = 27 950,99 ÷ 1,07 = 26 122,42 DH.

Dossier 2

1) iTTC = 0,11 × 1,10 = 0,121 ; a = 600 000 × 0,1211 − 1,121−5 = 166 858,37 DH.

2) Tableau d'amortissement :

PériodeCapital début de périodeIntérêtTVAAmortissementAnnuitéCapital fin de période
1600 000,0066 000,006 600,0094 258,37166 858,37505 741,63
2505 741,6355 631,585 563,16105 663,64166 858,37400 077,99
3400 077,9944 008,584 400,86118 448,94166 858,37281 629,05
4281 629,0530 979,203 097,92132 781,26166 858,37148 847,79
5148 847,7916 373,261 637,33148 847,79166 858,370,00
Total—212 992,6121 299,26600 000,00834 291,87—

3) Après la 3e annuité, il reste 2 annuités : D3 = 166 858,37 × 1 − 1,121−20,121 = 281 629,04 DH (tableau : 281 629,05, écart d'arrondi).

Dossier 3

1) Amortissement constant : 600 000 ÷ 5 = 120 000 DH.

PériodeCapital début de périodeIntérêtTVAAmortissementAnnuitéCapital fin de période
1600 000,0066 000,006 600,00120 000,00192 600,00480 000,00
2480 000,0052 800,005 280,00120 000,00178 080,00360 000,00
3360 000,0039 600,003 960,00120 000,00163 560,00240 000,00
4240 000,0026 400,002 640,00120 000,00149 040,00120 000,00
5120 000,0013 200,001 320,00120 000,00134 520,000,00
Total—198 000,0019 800,00600 000,00817 800,00—

2) Intérêts + TVA : 217 800 DH avec les amortissements constants contre 234 291,87 DH avec les annuités constantes : les amortissements constants coûtent 16 491,87 DH de moins. Mais la première annuité est plus lourde (192 600 DH contre 166 858,37 DH). Conseil : si la trésorerie le permet au début, choisir les amortissements constants ; sinon les annuités constantes, plus faciles à prévoir dans le budget.

3 EFM 3 : Sujet type C : NOUR PLAST (synthèse : compte courant, emprunt avec différé, investissement) Méthode hambourgeoiseCompte courantDifféré partielTableau d'amortissementVANIPTRIDRCI

Durée : 2 h 30 — Barème : 40 points (théorie 10 pts, pratique 30 pts). Calculatrice autorisée.

NOUR PLAST SARL (Tanger) fabrique des emballages plastiques. Elle prévoit l'achat d'une nouvelle machine et vous demande d'analyser sa trésorerie, son financement et la rentabilité du projet.

Partie théorique (10 points)

  1. Définissez la date de valeur. Pourquoi joue-t-elle en faveur de la banque ? (2 pts)
  2. Expliquez le principe de la méthode hambourgeoise. (2 pts)
  3. Définissez la VAN et le TRI, et donnez leur règle de décision. (4 pts)
  4. Comment calcule-t-on un cash-flow ? Pourquoi ajoute-t-on les dotations aux amortissements ? (2 pts)

Partie pratique (30 points)

Dossier 1 : Compte courant (10 points)

Au 31/03, le compte courant de NOUR PLAST présente un solde débiteur de 8 000 DH (valeur 31/03). Opérations d'avril :

Date d'opérationLibelléMontantDate de valeur
06/04Remise de chèques clients25 00008/04
12/04Chèque fournisseur12 00010/04
20/04Effet domicilié payé18 00019/04
27/04Virement reçu d'un client9 00029/04

Conditions : taux débiteur 14 %, taux créditeur 5 %, commission de tenue de compte 20 DH, TVA 10 % sur les intérêts débiteurs et la commission. Arrêté au 30/04. Établissez le bordereau (méthode hambourgeoise) et calculez le solde à nouveau.

Dossier 2 : Financement (8 points)

NOUR PLAST emprunte 200 000 DH au taux de 10 % (TVA 10 % sur les intérêts), remboursables par 4 annuités constantes après un différé partiel d'un an (seuls les intérêts TTC sont payés la 1re année). Calculez l'annuité et construisez le tableau d'amortissement.

Dossier 3 : Rentabilité de la machine (12 points)

La machine coûte 400 000 DH HT, amortissable en linéaire sur 5 ans (valeur résiduelle nulle). Elle permettra un chiffre d'affaires annuel de 500 000 DH avec 320 000 DH de charges décaissables. Taux de l'IS : 20 % ; taux d'actualisation : 12 %.

  1. Calculez le cash-flow annuel. (3 pts)
  2. Calculez la VAN et l'indice de profitabilité. (4 pts)
  3. Calculez le délai de récupération du capital investi. (2 pts)
  4. Calculez le TRI (VAN à 28 % : + 5 120,97 DH ; à 29 % : − 2 720,71 DH). Le projet est-il rentable ? (3 pts)
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Partie théorique

  1. La date de valeur est la date à partir de laquelle une opération est prise en compte pour le calcul des intérêts. Elle est postérieure à l'opération pour un dépôt et antérieure pour un retrait : la banque paie moins d'intérêts créditeurs et perçoit plus d'intérêts débiteurs.
  2. On classe les opérations par date de valeur croissante, on calcule le solde après chaque opération, le nombre de jours pendant lequel ce solde reste en place, puis les nombres (solde × jours) au débit ou au crédit ; on en déduit les intérêts débiteurs et créditeurs (ΣN ÷ diviseur).
  3. VAN = somme des cash-flows actualisés − capital investi : le projet est rentable si VAN > 0. TRI = taux d'actualisation qui annule la VAN : le projet est acceptable si TRI > taux exigé.
  4. Cash-flow = résultat net + dotations aux amortissements. On ajoute les dotations parce que ce sont des charges non décaissées : elles réduisent le résultat mais ne sortent pas de la trésorerie.

Dossier 1

Date de valeurOpérationDébitCréditSolde DSolde CJoursNombres DNombres C
31/03Solde débiteur8 000864 000
08/04Remise de chèques25 00017 000234 000
10/04Chèque fournisseur12 0005 000945 000
19/04Effet domicilié18 00013 00010130 000
29/04Virement reçu9 0004 00014 000
Totaux30198 00079 000
ÉlémentCalculMontant
Intérêts débiteurs198 000 × 14 ÷ 36 00077,00
Commission de tenue de compte20,00
TVA 10 %(77 + 20) × 10 %9,70
Intérêts créditeurs79 000 × 5 ÷ 36 00010,97

Solde à nouveau au 30/04 : 4 000 (débiteur) + 77 + 20 + 9,70 − 10,97 = 4 095,73 DH débiteur.

Dossier 2

iTTC = 0,10 × 1,10 = 0,11 ; a = 200 000 × 0,111 − 1,11−4 = 64 465,27 DH. La 1re année, l'entreprise paie seulement 20 000 + 2 000 = 22 000 DH.

PériodeCapital début de périodeIntérêtTVAAmortissementAnnuitéCapital fin de période
1200 000,0020 000,002 000,000,0022 000,00200 000,00
2200 000,0020 000,002 000,0042 465,2764 465,27157 534,73
3157 534,7315 753,471 575,3547 136,4564 465,27110 398,28
4110 398,2811 039,831 103,9852 321,4664 465,2758 076,82
558 076,825 807,68580,7758 076,8264 465,270,00
Total—72 600,987 260,10200 000,00279 861,08—

Dossier 3

ÉlémentCalculMontant
Chiffre d'affaires500 000
− Charges décaissables320 000
− Dotation aux amortissements400 000 ÷ 580 000
= Résultat avant impôt100 000
− IS 20 %20 000
= Résultat net80 000
Cash-flow80 000 + 80 000160 000
  1. Cash-flow annuel : 160 000 DH.
  2. VAN = 160 000 × 1 − 1,12−50,12 − 400 000 = 160 000 × 3,604776 − 400 000 = 176 764,19 DH ; IP = 576 764,19 ÷ 400 000 = 1,442.
  3. 160 000 × [1 − 1,12−n] ÷ 0,12 = 400 000 ⇒ 1,12−n = 0,7 ⇒ n = − log 0,7 ÷ log 1,12 = 3,147 ans ⇒ DRCI ≈ 3 ans, 1 mois et 23 jours.
  4. TRI = 28 + 5 120,97 ÷ (5 120,97 + 2 720,71) = 28,65 %. VAN > 0, IP > 1 et TRI (28,65 %) > 12 % : le projet est très rentable.

Résumé du module

Résumé du moduleToute la théorie et les formules pour réviser avant l'examen