Pour les opérations à moyen et long terme (plus d'un an), on utilise les intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts. C'est la base des chapitres suivants (annuités, emprunts, choix d'investissement).
Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période, l'intérêt produit s'ajoute au capital et porte lui-même intérêt pendant les périodes suivantes. On dit que l'intérêt est capitalisé.
Notations : C0 = capital placé ; i = taux par période ; n = nombre de périodes ; Cn = valeur acquise après n périodes.
| Période | Capital en début de période | Intérêt de la période | Valeur acquise en fin de période |
|---|---|---|---|
| 1 | C0 | C0 × i | C0 + C0 i = C0 (1 + i) |
| 2 | C0 (1 + i) | C0 (1 + i) × i | C0 (1 + i)(1 + i) = C0 (1 + i)² |
| … | … | … | … |
| n | C0 (1 + i)n−1 | C0 (1 + i)n−1 × i | C0 (1 + i)n |
Cn = C0 (1 + i)n ; Intérêts = Cn − C0
Quelle est la valeur acquise par un capital de 5 000 DH placé pendant 5 ans au taux de 6 % ?
C5 = 5 000 × (1,06)5 = 5 000 × 1,338226 = 6 691,13 DH
Intérêts : 6 691,13 − 5 000 = 1 691,13 DH. À intérêt simple, on aurait obtenu seulement 5 000 × 6 % × 5 = 1 500 DH.
Autrefois, on lisait (1 + i)n dans la table financière n° 1 (et les autres facteurs dans les tables 2 à 4), avec une interpolation linéaire lorsque le taux ou la durée n'y figuraient pas. Aujourd'hui, on utilise la touche xy (ou ^) de la calculatrice, qui donne directement le résultat exact.
Si la durée est de k années et p mois (n = k + p ÷ 12) :
C0 = 6 000 DH ; taux 4,5 % ; n = 3 ans 7 mois.
La solution rationnelle donne un résultat légèrement supérieur, car pour une durée inférieure à une période, l'intérêt simple est plus élevé que l'intérêt composé.
(1 + i)n = CnC0 ⇒ i = (CnC0)1/n − 1
Un capital de 5 000 DH placé pendant 6 ans est devenu 7 688,13 DH.
(1 + i)6 = 7 688,13 ÷ 5 000 = 1,537626 ⇒ i = 1,5376261/6 − 1 = 0,0743 ⇒ taux = 7,43 %.
On utilise les logarithmes (touche log ou ln de la calculatrice) :
n = log (Cn ÷ C0)log (1 + i)
Un capital de 4 200 DH placé à 5 % est devenu 6 912,75 DH.
(1,05)n = 6 912,75 ÷ 4 200 = 1,645893 ⇒ n = log 1,645893 ÷ log 1,05 = 10,2128 ans.
Conversion : 0,2128 × 12 = 2,553 mois ; 0,553 × 30 = 16,6 jours ⇒ 10 ans, 2 mois et 17 jours.
© TSC COMMERCE – OTHMAN ZT · Cours protégé, reproduction interdite
Quand la capitalisation se fait par semestre, trimestre ou mois, il faut un taux par période. Deux méthodes existent :
Deux taux sont proportionnels si leur rapport est égal au rapport des durées des périodes : is = i ÷ 2 ; it = i ÷ 4 ; im = i ÷ 12. Exemple : 12 % l'an ⇒ 1 % par mois.
Deux taux sont équivalents si, appliqués au même capital pendant la même durée, ils donnent la même valeur acquise à intérêts composés.
(1 + is)² = 1 + i ; (1 + it)4 = 1 + i ; (1 + im)12 = 1 + i
ik = (1 + i)1/k − 1 (k = nombre de périodes dans l'année)
| Taux annuel | Période | Taux proportionnel | Taux équivalent |
|---|---|---|---|
| 11 % | semestre | 11 ÷ 2 = 5,5 % | 1,111/2 − 1 = 5,357 % |
| 10,5 % | trimestre | 10,5 ÷ 4 = 2,625 % | 1,1051/4 − 1 = 2,528 % |
| 12 % | mois | 12 ÷ 12 = 1 % | 1,121/12 − 1 = 0,949 % |
Le taux équivalent est toujours inférieur au taux proportionnel. Avec le taux proportionnel, la capitalisation fréquente rapporte plus qu'une capitalisation annuelle au taux annuel.
La valeur actuelle C0 d'un capital Cn disponible dans n périodes est la somme qu'il faut placer aujourd'hui, à intérêts composés, pour obtenir Cn. Calculer une valeur actuelle s'appelle actualiser.
C0 = Cn(1 + i)n = Cn (1 + i)−n
L'escompte à intérêts composés est la différence entre la valeur nominale et la valeur actuelle : E = Cn − C0 = Cn [1 − (1 + i)−n]. Il s'applique aux effets et dettes à plus d'un an.
Deux capitaux (ou deux groupes de capitaux) sont équivalents à intérêts composés s'ils ont la même valeur à une même date. À intérêts composés, si l'équivalence existe à une date, elle existe à toutes les dates : le choix de la date d'équivalence ne change pas le résultat.
Pour remplacer plusieurs dettes par un paiement unique, on ramène toutes les sommes à une même date : on capitalise (× (1 + i)k) les sommes antérieures et on actualise (× (1 + i)−k) les sommes postérieures.
Une dette doit être réglée par trois versements : 20 000 DH dans 1 an, 30 000 DH dans 2 ans et 50 000 DH dans 4 ans. Le débiteur propose un paiement unique dans 3 ans. Taux 8 %.
X = 20 000 × 1,08² + 30 000 × 1,08 + 50 000 × 1,08−1 = 23 328 + 32 400 + 46 296,30 = 102 024,30 DH
Si le paiement unique est égal à la somme des nominaux, sa date est l'échéance moyenne : on écrit que sa valeur actuelle est égale à la somme des valeurs actuelles, puis on calcule n avec les logarithmes.
Mêmes dettes, paiement unique de 100 000 DH : 100 000 × 1,08−n = 20 000 × 1,08−1 + 30 000 × 1,08−2 + 50 000 × 1,08−4 = 80 990,18.
1,08−n = 0,809902 ⇒ n = − log 0,809902 ÷ log 1,08 = 2,74 ans (environ 2 ans, 8 mois et 26 jours).
© TSC COMMERCE – OTHMAN ZT · Cours protégé, reproduction interdite
| N° | Durée | Taux | Capital (DH) | Valeur acquise (DH) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ? | 7 % l'an | 22 500 | 50 674,31 |
| 2 | 20 ans | 3 % le semestre | 6 000 | ? |
| 3 | ? | 7,5 % l'an | 17 000 | 20 004,05 |
| 4 | 5 ans 9 mois | ? le trimestre | 20 000 | 29 807,23 |
a) Quel est le taux semestriel équivalent au taux annuel de 11 % ? b) Le taux trimestriel équivalent à 10,5 % l'an ? c) Le taux mensuel équivalent à 12 % l'an ?
On place 15 000 DH pendant 4 ans au taux annuel de 9 %. Calculez la valeur acquise si la capitalisation est semestrielle, puis trimestrielle : 1) avec les taux proportionnels ; 2) avec les taux équivalents.
1) Taux proportionnels : 4,5 % par semestre et 2,25 % par trimestre.
2) Taux équivalents : is = 1,091/2 − 1 = 4,403 % ; it = 1,091/4 − 1 = 2,178 %.
Conclusion : avec les taux équivalents, la valeur acquise est la même quelle que soit la période de capitalisation (égale à la capitalisation annuelle). Avec les taux proportionnels, plus la capitalisation est fréquente, plus la valeur acquise est élevée.
Une dette de 50 000 DH est payable dans 3 ans. Le débiteur veut la régler aujourd'hui. Taux 7 %. Calculez la somme à payer et l'escompte à intérêts composés.
C0 = 50 000 × (1,07)−3 = 40 814,89 DH ; E = 50 000 − 40 814,89 = 9 185,11 DH
a) À quel taux faut-il placer un capital pour qu'il double en 9 ans ? b) En combien de temps un capital placé à 6 % augmente-t-il de 50 % ?
Un commerçant doit 20 000 DH dans 1 an, 30 000 DH dans 2 ans et 50 000 DH dans 4 ans. Taux 8 %. Calculez : a) le montant d'un paiement unique dans 2 ans ; b) le montant d'un paiement unique aujourd'hui.
Vérification : 80 990,18 × 1,08² = 94 466,94 ; 80 990,18 × 1,08³ = 102 024,30 (paiement dans 3 ans du cours) : l'équivalence est vraie à toutes les dates.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.