L'étude des annuités est essentielle : elle permet de résoudre les problèmes de remboursement d'emprunts, de constitution d'un capital (épargne, retraite) et d'évaluation de la rentabilité d'un investissement. Tous les calculs se font à intérêts composés.
On appelle annuités des sommes payables à intervalles de temps réguliers. Si la période est l'année, on parle d'annuités ; pour d'autres périodes, on parle de semestrialités, trimestrialités ou mensualités. Le versement d'annuités a pour objet soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital.
Notations : a = montant de l'annuité constante ; i = taux correspondant à la période ; n = nombre d'annuités ; Vn = valeur acquise ; V0 = valeur actuelle.
On cherche la valeur de la suite d'annuités au moment du dernier versement (date n). Chaque versement est capitalisé jusqu'à la date n :
| Versement n° | Date | Durée de capitalisation | Valeur acquise à la date n |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | n − 1 périodes | a (1 + i)n−1 |
| 2 | 2 | n − 2 périodes | a (1 + i)n−2 |
| … | … | … | … |
| n − 1 | n − 1 | 1 période | a (1 + i) |
| n | n | 0 | a |
Vn = a [1 + (1 + i) + … + (1 + i)n−1] : c'est la somme d'une suite géométrique de raison q = 1 + i, donc :
Vn = a × (1 + i)n − 1i
1) Dans cette formule, n indique à la fois le nombre de versements (toujours un nombre entier) et l'époque à laquelle on évalue la suite : la formule donne la valeur au moment du dernier versement.
2) Pour une date postérieure de k périodes, on capitalise le résultat : V = Vn × (1 + i)k.
15 annuités de 35 000 DH ; taux 10 % l'an.
V15 = 35 000 × 1,115 − 10,1 = 35 000 × 31,7724817 = 1 112 036,86 DH
Intérêts produits : 1 112 036,86 − 15 × 35 000 = 587 036,86 DH.
a = Vn × i(1 + i)n − 1
Combien faut-il verser à la fin de chaque semestre, pendant 8 ans, pour constituer au moment du dernier versement un capital de 450 000 DH ? Taux semestriel 4,5 %.
n = 8 × 2 = 16 semestres :
a = 450 000 × 0,0451,04516 − 1 = 450 000 × 0,0451,022370 = 19 806,92 DH
On cherche la valeur de la suite à l'origine (date 0), c'est-à-dire une période avant le premier versement. Chaque versement est actualisé : V0 = a (1 + i)−1 + a (1 + i)−2 + … + a (1 + i)−n.
V0 = a × 1 − (1 + i)−ni ; on a aussi V0 = Vn × (1 + i)−n
12 annuités de 32 500 DH ; taux 8,5 % l'an.
V0 = 32 500 × 1 − 1,085−120,085 = 32 500 × 7,3446861 = 238 702,30 DH
Intérêts (escompte) : 12 × 32 500 − 238 702,30 = 151 297,70 DH.
La valeur actuelle des annuités est égale au montant emprunté :
a = V0 × i1 − (1 + i)−n
Une dette de 35 000 DH est remboursée par 14 annuités constantes de fin de période. Taux 10,5 %.
a = 35 000 × 0,1051 − 1,105−14 = 35 0007,170176 = 4 881,33 DH
À partir de V0 = a [1 − (1 + i)−n] ÷ i : (1 + i)−n = 1 − V0 × ia, d'où :
n = − log (1 − V0 × i ÷ a)log (1 + i)
Une dette de 200 000 DH est remboursée par des annuités de 30 000 DH ; taux 9 %.
1 − 200 000 × 0,09 ÷ 30 000 = 0,4 ⇒ n = − log 0,4 ÷ log 1,09 = 10,63.
Le nombre de versements doit être entier. On peut : soit faire 11 annuités en recalculant a = 200 000 × 0,09 ÷ (1 − 1,09−11) = 29 389,33 DH ; soit faire 10 annuités de 200 000 × 0,09 ÷ (1 − 1,09−10) = 31 164,02 DH.
Le taux ne peut pas être isolé : on cherche par essais deux taux qui encadrent le facteur, puis on fait une interpolation linéaire.
Un emprunt de 100 000 DH est remboursé par 5 annuités de 25 000 DH. Quel est le taux ?
[1 − (1 + i)−5] ÷ i = 100 000 ÷ 25 000 = 4.
| Taux | [1 − (1 + i)−5] ÷ i |
|---|---|
| 7,5 % | 4,045885 |
| i ? | 4,000000 |
| 8 % | 3,992710 |
i − 7,58 − 7,5 = 4 − 4,0458853,992710 − 4,045885 ⇒ i = 7,5 + 0,5 × 0,0458850,053175 = 7,93 %
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Les versements ont lieu au début de chaque période : chaque versement est placé une période de plus. Il suffit de multiplier les formules précédentes par (1 + i) :
V'n = a × (1 + i)n − 1i × (1 + i) ; V'0 = a × 1 − (1 + i)−ni × (1 + i)
Un épargnant verse 5 000 DH au début de chaque année pendant 10 ans ; taux 8 %. Valeur acquise à la fin de la 10e année :
V'10 = 5 000 × 1,0810 − 10,08 × 1,08 = 72 432,81 × 1,08 = 78 227,44 DH
6 annuités de 40 000 DH, la première dans 3 ans ; taux 10 %. À la date 2 (un an avant le premier versement) : 40 000 × [1 − 1,1−6] ÷ 0,1 = 174 210,43 DH ; aujourd'hui : 174 210,43 × 1,1−2 = 143 975,56 DH.
Si les versements sont trimestriels (ou mensuels) et que le taux est annuel, on calcule d'abord un taux par période, soit proportionnel, soit équivalent (chapitre 4), puis on applique les formules avec n = nombre de versements.
Avec le taux équivalent, le résultat est un peu plus faible (le taux proportionnel « surcapitalise »). L'énoncé précise toujours la méthode à utiliser.
Chaque annuité augmente d'un même montant r (la raison) : a, a + r, a + 2r… Pour des versements de fin de période :
Vn = (a + ri) × (1 + i)n − 1i − n × ri ; V0 = (a + ri + n × r) × 1 − (1 + i)−ni − n × ri
5 versements de fin d'année : 10 000, 11 000, 12 000, 13 000 et 14 000 DH ; taux 8 %.
V5 = (10 000 + 1 0000,08) × 1,085 − 10,08 − 5 × 1 0000,08 = 22 500 × 5,866601 − 62 500 = 69 498,52 DH
Vérification directe : 10 000 × 1,084 + 11 000 × 1,08³ + 12 000 × 1,08² + 13 000 × 1,08 + 14 000 = 69 498,52 DH. Valeur à l'origine : 69 498,52 × 1,08−5 = 47 299,53 DH.
Chaque annuité est multipliée par un même coefficient q : a, aq, aq²… (exemple : loyer augmenté de 5 % par an, q = 1,05). Pour des versements de fin de période (si q ≠ 1 + i) :
Vn = a × (1 + i)n − qn1 + i − q ; V0 = Vn × (1 + i)−n
6 versements de fin d'année, le premier de 20 000 DH, augmentant de 5 % par an ; taux 10 %.
V6 = 20 000 × 1,16 − 1,0561,1 − 1,05 = 172 586,14 DH ; V0 = 172 586,14 × 1,1−6 = 97 420,38 DH
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Le 30/10/2025, un particulier s'engage auprès d'un organisme de capitalisation à verser 12 annuités de 32 500 DH ; taux 9 % l'an ; le premier versement a lieu le 31/10/2026. Calculez le capital constitué : a) au 31/10/2037 ; b) au 31/03/2038 (solutions rationnelle et commerciale) ; c) au 31/10/2039 ; d) au 31/10/2040.
Les 12 versements ont lieu du 31/10/2026 (date 1) au 31/10/2037 (date 12).
Un salarié verse 2 000 DH à la fin de chaque mois pendant 10 ans sur un compte rémunéré à 0,5 % par mois. Calculez le capital constitué au dernier versement et les intérêts gagnés.
n = 10 × 12 = 120 mensualités :
V120 = 2 000 × 1,005120 − 10,005 = 327 758,69 DH
Intérêts : 327 758,69 − 120 × 2 000 = 87 758,69 DH.
a) Une entreprise achète une machine payable par 6 annuités de 40 000 DH, la première dans un an. Taux 10 %. Quel est le prix au comptant équivalent ? b) Une autre machine coûte 250 000 DH au comptant ; le fournisseur propose 5 annuités constantes de fin d'année au taux de 9 %. Calculez l'annuité.
Un locataire paie un loyer de 4 000 DH au début de chaque mois pendant 1 an. Taux mensuel 1 %. Quelle somme unique, payée au début du premier mois, équivaut à ces 12 loyers ?
V'0 = 4 000 × 1 − 1,01−120,01 × 1,01 = 4 000 × 11,255077 × 1,01 = 45 470,51 DH
a) Un épargnant verse à la fin de chaque année pendant 5 ans : 10 000 DH la 1re année, puis 1 000 DH de plus chaque année. Taux 8 %. Calculez le capital constitué et sa valeur à l'origine. b) Une entreprise verse un loyer annuel de fin d'année de 20 000 DH, augmenté de 5 % par an pendant 6 ans. Taux d'actualisation 10 %. Quelle est la valeur actuelle de ces loyers ?
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.