Chapitre 6

Les emprunts indivis

Cours

Pour financer un investissement (machine, local, véhicule), l'entreprise ou le particulier emprunte à une banque. Ce chapitre explique comment se rembourse un emprunt indivis et comment construire son tableau d'amortissement, document que l'on retrouve dans tous les contrats de crédit.

I. Définitions

Emprunt indivis

Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d'un seul prêteur (une banque, un organisme de crédit) : la dette n'est pas divisée. Il s'oppose à l'emprunt obligataire, par lequel une grande entreprise ou l'État emprunte auprès d'un grand nombre de prêteurs (la dette est divisée en titres appelés obligations).

Vocabulaire du tableau d'amortissement :

C : capital emprunté (nominal) ; i : taux d'intérêt ; n : durée (nombre de périodes) ;
intérêt d'une période : I_k = capital restant dû en début de période × i ;
amortissement M_k : partie du capital remboursée pendant la période ;
annuité : somme versée à la fin de la période : a_k = I_k + M_k ;
capital restant dû (fin de période) = capital début de période − amortissement.

Deux relations toujours vraies

Annuité = Intérêt + Amortissement.
Somme des amortissements = Capital emprunté.

II. Les modes de remboursement

1. Remboursement en une seule fois (in fine)

L'emprunteur paie chaque année seulement les intérêts ; le capital est remboursé en totalité à la dernière échéance.

Emprunt in fine

Un emprunt de 250 000 DH est remboursable à la fin de la 10^e année ; taux 10 %. Chaque année, l'emprunteur verse l'intérêt : 250 000 × 10 % = 25 000 DH. La 10^e année, il verse 25 000 + 250 000 = 275 000 DH. Total des intérêts : 10 × 25 000 = 250 000 DH.

Le remboursement in fine avec fonds d'amortissement (système américain)

Pour pouvoir rembourser le capital en une seule fois à l'échéance, l'emprunteur peut placer chaque année une somme constante m à un taux i' (généralement inférieur au taux de l'emprunt i), de façon que la valeur acquise de ces placements égale le capital à la dernière échéance. Chaque année, il décaisse donc l'intérêt de l'emprunt + le versement au fonds : c'est l'annuité effective.

m = C × i'(1 + i')ⁿ − 1 ; annuité effective = C × i + m

Emprunt in fine avec fonds d'amortissement

Emprunt de 500 000 DH remboursable in fine dans 5 ans au taux de 12 % ; l'entreprise place chaque année une somme constante au taux de 8 %.

intérêt annuel de l'emprunt : 500 000 × 12 % = 60 000 DH ;
versement au fonds : m = 500 000 × 0,081,08⁵ − 1 = 85 228,23 DH ;
annuité effective : 60 000 + 85 228,23 = 145 228,23 DH par an.

Avec des annuités constantes au taux de 12 %, l'annuité serait de 500 000 × 0,12 ÷ (1 − 1,12⁻⁵) = 138 704,87 DH : le système américain coûte plus cher dès que le taux de placement (8 %) est inférieur au taux de l'emprunt (12 %).

2. Amortissements quelconques

Les amortissements sont fixés librement par le contrat ; la seule règle est que leur somme égale le capital emprunté.

Amortissements fixés par le contrat

Un emprunt de 200 000 DH est remboursable en 6 annuités, la première un an après le contrat ; taux 11 %. Amortissements des 5 premières années : 35 000, 20 000, 50 000, 40 000 et 10 000 DH.

Dernier amortissement : M₆ = 200 000 − (35 000 + 20 000 + 50 000 + 40 000 + 10 000) = 45 000 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt (11 %)	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	200 000	22 000	35 000	57 000	165 000
2	165 000	18 150	20 000	38 150	145 000
3	145 000	15 950	50 000	65 950	95 000
4	95 000	10 450	40 000	50 450	55 000
5	55 000	6 050	10 000	16 050	45 000
6	45 000	4 950	45 000	49 950	0
Total	—	77 550	200 000	277 550	—

3. Amortissements constants

Chaque année, on rembourse la même part du capital : M = C ÷ n. Les intérêts diminuent chaque année, donc les annuités sont décroissantes (elles diminuent de M × i chaque année).

Amortissements constants

Un emprunt de 300 000 DH est remboursable en 6 annuités ; taux 11,5 %. Amortissement constant : 300 000 ÷ 6 = 50 000 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	300 000,00	34 500,00	50 000,00	84 500,00	250 000,00
2	250 000,00	28 750,00	50 000,00	78 750,00	200 000,00
3	200 000,00	23 000,00	50 000,00	73 000,00	150 000,00
4	150 000,00	17 250,00	50 000,00	67 250,00	100 000,00
5	100 000,00	11 500,00	50 000,00	61 500,00	50 000,00
6	50 000,00	5 750,00	50 000,00	55 750,00	0,00
Total	—	120 750,00	300 000,00	420 750,00	—

Les annuités diminuent chaque année de 50 000 × 11,5 % = 5 750 DH.

4. Annuités constantes

C'est le mode le plus utilisé (crédits bancaires) : l'emprunteur verse chaque période la même annuité. Le capital emprunté est égal à la valeur actuelle des annuités (chapitre 5) :

a = C × i1 − (1 + i)⁻ⁿ

Au début, l'annuité contient beaucoup d'intérêts et peu d'amortissement ; puis la part d'amortissement augmente.

Tableau d'amortissement par annuités constantes

Une personne emprunte 350 000 DH, remboursables par 8 annuités constantes, la première un an après le contrat ; taux 12 %.

a = 350 000 × 0,121 − 1,12⁻⁸ = 70 455,99 DH

Construction : intérêt = capital début × 12 % ; amortissement = a − intérêt ; capital fin = capital début − amortissement.

Période	Capital début de période	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	350 000,00	42 000,00	28 455,99	70 455,99	321 544,01
2	321 544,01	38 585,28	31 870,71	70 455,99	289 673,29
3	289 673,29	34 760,80	35 695,20	70 455,99	253 978,09
4	253 978,09	30 477,37	39 978,62	70 455,99	213 999,47
5	213 999,47	25 679,94	44 776,06	70 455,99	169 223,41
6	169 223,41	20 306,81	50 149,19	70 455,99	119 074,23
7	119 074,23	14 288,91	56 167,09	70 455,99	62 907,14
8	62 907,14	7 548,86	62 907,14	70 455,99	0,00
Total	—	213 647,96	350 000,00	563 647,96	—

Les relations entre les amortissements

Avec des annuités constantes, les amortissements forment une suite géométrique de raison (1 + i) :

premier amortissement : M₁ = a − C × i (exemple : 70 455,99 − 42 000 = 28 455,99) ;
amortissement de rang k : M_k = M₁ (1 + i)^k−1 (exemple : M₈ = 28 455,99 × 1,12⁷ ≈ 62 907,14) ;
somme des amortissements : C = M₁ × (1 + i)ⁿ − 1i ;
dernière annuité : a = M_n (1 + i) (exemple : 62 907,14 × 1,12 ≈ 70 455,99, à l'arrondi près).

Le capital restant dû

Le capital restant dû juste après le paiement de la p^e annuité est la valeur actuelle des annuités qui restent à payer :

D_p = a × 1 − (1 + i)^{−(n − p)}i ou D_p = C (1 + i)^p − a × (1 + i)^p − 1i

Capital restant dû après la 5^e annuité

D₅ = 70 455,99 × 1 − 1,12⁻³0,12 = 169 223,41 DH (on retrouve la valeur du tableau, à quelques centimes près selon les arrondis).

III. La prise en compte de la TVA sur les intérêts

Au Maroc, les intérêts payés à la banque supportent la TVA au taux de 10 %. Pour 100 DH d'intérêts, l'emprunteur paie 110 DH. Pour garder une annuité constante (intérêt + TVA + amortissement), on calcule l'annuité avec le taux TTC :

i_TTC = i × (1 + taux de TVA) ; a = C × i_TTC1 − (1 + i_TTC)⁻ⁿ

Dans le tableau, l'intérêt reste calculé au taux hors taxes ; on ajoute une colonne TVA = intérêt × 10 % ; l'amortissement = annuité − intérêt − TVA.

Emprunt avec TVA

Un emprunt de 500 000 DH est remboursable par 6 annuités constantes ; taux 12 % ; TVA 10 % sur les intérêts.

i_TTC = 0,12 × 1,10 = 0,132 (13,2 %) ; a = 500 000 × 0,1321 − 1,132⁻⁶ = 125 774,00 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	TVA	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	500 000,00	60 000,00	6 000,00	59 774,00	125 774,00	440 226,00
2	440 226,00	52 827,12	5 282,71	67 664,17	125 774,00	372 561,84
3	372 561,84	44 707,42	4 470,74	76 595,84	125 774,00	295 966,00
4	295 966,00	35 515,92	3 551,59	86 706,49	125 774,00	209 259,51
5	209 259,51	25 111,14	2 511,11	98 151,74	125 774,00	111 107,77
6	111 107,77	13 332,93	1 333,29	111 107,77	125 774,00	0,00
Total	—	231 494,53	23 149,45	500 000,00	754 643,99	—

IV. Le différé d'amortissement

Le contrat peut prévoir une période de différé pendant laquelle l'emprunteur ne rembourse pas le capital (le temps que l'investissement commence à rapporter). Deux cas :

différé total : l'emprunteur ne verse rien ; les intérêts s'ajoutent à la dette, qui devient C (1 + i)^d au début des remboursements ;
différé partiel : l'emprunteur verse seulement les intérêts (et la TVA) pendant le différé ; la dette reste égale à C.

Différé total de 2 ans

Emprunt de 500 000 DH, 6 annuités constantes après un différé total de 2 ans ; taux 12 %. Capital à amortir : 500 000 × 1,12² = 627 200 DH ; a = 627 200 × 0,121 − 1,12⁻⁶ = 152 551,17 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	500 000,00	60 000,00	—	0,00	560 000,00
2	560 000,00	67 200,00	—	0,00	627 200,00
3	627 200,00	75 264,00	77 287,17	152 551,17	549 912,83
4	549 912,83	65 989,54	86 561,63	152 551,17	463 351,20
5	463 351,20	55 602,14	96 949,03	152 551,17	366 402,17
6	366 402,17	43 968,26	108 582,91	152 551,17	257 819,26
7	257 819,26	30 938,31	121 612,86	152 551,17	136 206,40
8	136 206,40	16 344,77	136 206,40	152 551,17	0,00
Total	—	415 307,02	627 200,00	915 307,02	—

Pendant le différé, les intérêts (60 000 puis 67 200) ne sont pas payés : ils augmentent la dette. Le total des amortissements est donc 627 200 DH (capital + intérêts capitalisés).

V. Les remboursements mensuels

Dans la pratique, les crédits se remboursent par mensualités. Les banques utilisent en général le taux mensuel proportionnel : i_m = taux annuel ÷ 12 (et i_{m TTC} = i_m × 1,10).

Crédit remboursé par mensualités

Crédit de 120 000 DH sur 5 ans (60 mensualités), taux annuel 9 %, TVA 10 %. i_m = 0,09 ÷ 12 = 0,0075 ; i_{m TTC} = 0,0075 × 1,10 = 0,00825.

m = 120 000 × 0,008251 − 1,00825⁻⁶⁰ = 2 543,74 DH

1^re mensualité : intérêt 120 000 × 0,0075 = 900 DH ; TVA 90 DH ; amortissement 2 543,74 − 990 = 1 553,74 DH.

À retenir

Intérêt = capital début × i ; annuité = intérêt (+ TVA) + amortissement ; capital fin = capital début − amortissement.
In fine : intérêts seuls, capital à la fin (éventuellement avec un fonds d’amortissement : annuité effective = C × i + m). Amortissements constants : M = C ÷ n, annuités décroissantes.
Annuités constantes : a = C × i ÷ [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ; M_k = M₁(1 + i)^k−1 ; M₁ = a − C i.
TVA 10 % : annuité calculée au taux TTC = i × 1,10 ; intérêt du tableau au taux HT.
Différé total : dette × (1 + i)^d ; différé partiel : on paie les intérêts, la dette reste C.

Exercices

Exercice 1 : remboursement en deux fois

Un particulier emprunte 180 000 DH sur 4 ans au taux de 11 %. Il verse chaque année l'intérêt de la dette ; le capital est remboursé en deux fois : une moitié à la fin de la 2^e année et l'autre moitié à la fin de la 4^e année. Construisez le tableau d'amortissement.

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Période	Capital début de période	Intérêt (11 %)	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	180 000	19 800	0	19 800	180 000
2	180 000	19 800	90 000	109 800	90 000
3	90 000	9 900	0	9 900	90 000
4	90 000	9 900	90 000	99 900	0
Total	—	59 400	180 000	239 400	—

Après le remboursement de la moitié du capital (fin de la 2^e année), l'intérêt annuel tombe à 90 000 × 11 % = 9 900 DH.

Exercice 2 : comparaison de deux modes de remboursement

Un emprunt de 420 000 DH est remboursable en 5 ans ; taux 11 % ; TVA 10 % sur les intérêts. Construisez le tableau d'amortissement : a) par amortissements constants ; b) par annuités constantes. Quel mode coûte le moins cher en intérêts ?

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a) Amortissements constants : M = 420 000 ÷ 5 = 84 000 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	TVA	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	420 000,00	46 200,00	4 620,00	84 000,00	134 820,00	336 000,00
2	336 000,00	36 960,00	3 696,00	84 000,00	124 656,00	252 000,00
3	252 000,00	27 720,00	2 772,00	84 000,00	114 492,00	168 000,00
4	168 000,00	18 480,00	1 848,00	84 000,00	104 328,00	84 000,00
5	84 000,00	9 240,00	924,00	84 000,00	94 164,00	0,00
Total	—	138 600,00	13 860,00	420 000,00	572 460,00	—

b) Annuités constantes : i_TTC = 0,11 × 1,10 = 0,121 ; a = 420 000 × 0,1211 − 1,121⁻⁵ = 116 800,86 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	TVA	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	420 000,00	46 200,00	4 620,00	65 980,86	116 800,86	354 019,14
2	354 019,14	38 942,11	3 894,21	73 964,55	116 800,86	280 054,59
3	280 054,59	30 806,01	3 080,60	82 914,26	116 800,86	197 140,34
4	197 140,34	21 685,44	2 168,54	92 946,88	116 800,86	104 193,45
5	104 193,45	11 461,28	1 146,13	104 193,45	116 800,86	0,00
Total	—	149 094,83	14 909,48	420 000,00	584 004,31	—

Comparaison : intérêts HT de 138 600 DH avec les amortissements constants contre 149 094,83 DH avec les annuités constantes. Les amortissements constants coûtent moins cher (le capital est remboursé plus vite au début), mais les premières annuités sont plus lourdes (134 820 DH contre 116 800,86 DH).

Exercice 3 : crédit jeune promoteur avec différé partiel

Dans le cadre d'un programme d'aide à la création d'entreprise, un jeune promoteur emprunte 375 000 DH au taux de 9 %, TVA 10 % sur les intérêts. L'emprunt est remboursable par 5 annuités constantes après un différé de 2 ans pendant lequel l'emprunteur ne verse que les intérêts (TVA comprise). Construisez le tableau d'amortissement.

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Pendant le différé partiel, l'emprunteur paie 375 000 × 9 % = 33 750 DH d'intérêt + 3 375 DH de TVA = 37 125 DH par an ; la dette reste 375 000 DH.

i_TTC = 0,09 × 1,10 = 0,099 ; a = 375 000 × 0,0991 − 1,099⁻⁵ = 98 671,47 DH.

Période	Capital début de période	Intérêt	TVA	Amortissement	Annuité	Capital fin de période
1	375 000,00	33 750,00	3 375,00	0,00	37 125,00	375 000,00
2	375 000,00	33 750,00	3 375,00	0,00	37 125,00	375 000,00
3	375 000,00	33 750,00	3 375,00	61 546,47	98 671,47	313 453,53
4	313 453,53	28 210,82	2 821,08	67 639,57	98 671,47	245 813,97
5	245 813,97	22 123,26	2 212,33	74 335,88	98 671,47	171 478,09
6	171 478,09	15 433,03	1 543,30	81 695,13	98 671,47	89 782,95
7	89 782,95	8 080,47	808,05	89 782,95	98 671,47	0,00
Total	—	175 097,57	17 509,76	375 000,00	567 607,33	—

Exercice 4 : retrouver les éléments d'un emprunt

Un emprunt remboursable par annuités constantes a un premier amortissement de 28 455,99 DH et un troisième amortissement de 35 695,20 DH. La première annuité contient 42 000 DH d'intérêts. Calculez : a) le taux ; b) le capital emprunté ; c) l'annuité ; d) la durée.

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a) M₃ = M₁ (1 + i)² ⇒ (1 + i)² = 35 695,20 ÷ 28 455,99 = 1,2544 ⇒ 1 + i = 1,12 ⇒ i = 12 % ;
b) I₁ = C × i ⇒ C = 42 000 ÷ 0,12 = 350 000 DH ;
c) a = I₁ + M₁ = 42 000 + 28 455,99 = 70 455,99 DH ;
d) C = M₁ [(1,12)ⁿ − 1] ÷ 0,12 ⇒ (1,12)ⁿ = 1 + 350 000 × 0,12 ÷ 28 455,99 = 2,475963 ⇒ n = log 2,475963 ÷ log 1,12 = 8 ans.

Exercice 5 : coût d'un différé total

Une entreprise emprunte 500 000 DH au taux de 12 %, remboursables par 6 annuités constantes avec un différé total de 2 ans (aucun versement pendant le différé). Calculez l'annuité et le total des intérêts payés. Comparez avec un emprunt sans différé.

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Dette au début des remboursements : 500 000 × 1,12² = 627 200 DH ; a = 627 200 × 0,12 ÷ (1 − 1,12⁻⁶) = 152 551,17 DH (tableau dans le cours).

Total versé : 6 × 152 551,17 = 915 307,02 DH ; intérêts : 915 307,02 − 500 000 = 415 307,02 DH.

Sans différé : a = 500 000 × 0,12 ÷ (1 − 1,12⁻⁶) = 121 612,86 DH ; total versé 729 677,16 DH ; intérêts 229 677,16 DH. Le différé total coûte 185 629,86 DH d'intérêts en plus.

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