M109 · Chapitre 7 : Les séries chronologiques

Cours

Une série chronologique (ou temporelle) est une série d'observations échelonnées dans le temps : ventes mensuelles, chiffre d'affaires annuel, nombre de clients par trimestre… Son étude permet de faire des prévisions.

I. Les composantes d'une série chronologique

La tendance (trend)mouvement de long terme : la série augmente, diminue ou reste stable

Les variations saisonnièresmouvements qui se répètent à la même période : ventes plus fortes en été, pendant le Ramadan, à la rentrée

Les variations accidentellesvariations imprévisibles dues à des circonstances exceptionnelles : grève, crise sanitaire, inondation

Objectif : séparer le mouvement de long terme (trend) des autres mouvements pour faire des prévisions. Déterminer le trend revient à « lisser » la série : c'est l'ajustement. Les deux méthodes les plus utilisées sont la méthode de Mayer et la méthode des moindres carrés. Dans les deux cas, on cherche une droite y = ax + b, où x est le rang de la période (1, 2, 3…).

Exemple utilisé dans ce chapitre : chiffre d'affaires d'une entreprise (en DH).

Année	N	N+1	N+2	N+3	N+4	N+5
Rang (xᵢ)	1	2	3	4	5	6
CA (yᵢ)	22 000	28 000	31 000	36 000	40 000	44 000

II. La méthode de Mayer (des points moyens)

Appelée aussi méthode des doubles moyennes. Étapes :

1. Séparerla série en 2 groupes de même taille

➜

2. Calculerle point moyen (x̄ ; ȳ) de chaque groupe

➜

3. Écrirele système de 2 équations à 2 inconnues

➜

4. Résoudrepour trouver a et b

➜

5. Prévoiren remplaçant x

Méthode de Mayer

Groupe 1 (N à N+2) : x̄₁ = (1 + 2 + 3) ÷ 3 = 2 ; ȳ₁ = (22 000 + 28 000 + 31 000) ÷ 3 = 27 000 → G₁ (2 ; 27 000)

Groupe 2 (N+3 à N+5) : x̄₂ = (4 + 5 + 6) ÷ 3 = 5 ; ȳ₂ = (36 000 + 40 000 + 44 000) ÷ 3 = 40 000 → G₂ (5 ; 40 000)

La droite passe par les deux points moyens :

(1) 27 000 = 2a + b
(2) 40 000 = 5a + b

(2) − (1) : 13 000 = 3a ⇒ a = 4 333,33 ; b = 27 000 − 2 × 4 333,33 = 18 333,33

y = 4 333,33x + 18 333,33

Prévision N+6 (7^e année, x = 7) : y = 4 333,33 × 7 + 18 333,33 = 48 666,67 DH, si la tendance actuelle se maintient.

III. La méthode des moindres carrés

C'est la méthode mathématiquement la plus précise : elle utilise tous les écarts à la moyenne. C'est la droite de régression D(y/x) du chapitre 6, avec x = rang.

a = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)Σ (xᵢ − x̄)²
b = ȳ − a x̄

Méthode des moindres carrés

x̄ = 21 ÷ 6 = 3,5 ; ȳ = 201 000 ÷ 6 = 33 500

xᵢ	yᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ − ȳ	(xᵢ − x̄)²	(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
1	22 000	−2,5	−11 500	6,25	28 750
2	28 000	−1,5	−5 500	2,25	8 250
3	31 000	−0,5	−2 500	0,25	1 250
4	36 000	0,5	2 500	0,25	1 250
5	40 000	1,5	6 500	2,25	9 750
6	44 000	2,5	10 500	6,25	26 250
21	201 000	0	0	17,50	75 500

a = 75 500 ÷ 17,5 = 4 314,29 ; b = 33 500 − 4 314,29 × 3,5 = 18 400

y = 4 314,29x + 18 400

Prévision N+6 : y = 4 314,29 × 7 + 18 400 = 48 600 DH.

Chronogramme : CA observé (rouge) et droite de tendance des moindres carrés (bleu)

Mayer ou moindres carrés ?

Mayer : rapide (deux points moyens), mais moins précise.
Moindres carrés : plus longue, mais plus précise ; c'est la méthode utilisée en entreprise et dans les tableurs (fonction DROITEREG / TENDANCE d'Excel).
Dans les deux cas, la prévision suppose que la tendance passée continue.

xᵢ	yᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ − ȳ	(xᵢ − x̄)²	(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
1	120	−2,5	−31,33	6,25	78,33
2	135	−1,5	−16,33	2,25	24,50
3	150	−0,5	−1,33	0,25	0,67
4	148	0,5	−3,33	0,25	−1,67
5	170	1,5	18,67	2,25	28,00
6	185	2,5	33,67	6,25	84,17
21	908	0	0	17,50	214