M109 : Statistique

Partie I : Théorie

1) La population est l'ensemble des éléments sur lesquels porte l'étude ; l'individu (unité statistique) est chaque élément de cette population ; l'échantillon est un sous-ensemble de la population choisi pour l'étude.

2) Un caractère discret ne prend que des valeurs isolées (entières) : nombre d'enfants. Un caractère continu peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle et se présente en classes : âge, salaire.

3) Qualitatif : diagramme à secteurs ou en tuyaux d'orgue ; discret : diagramme en bâtons ; continu : histogramme.

4) La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V = Σnᵢ(cᵢ − x̄)² ÷ N. L'écart-type est sa racine carrée (σ = √V) ; il mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne, dans l'unité du caractère.

Partie II : Pratique

1) Unité statistique : le client ; caractère : l'âge ; nature : quantitatif continu.

2) Effectif de [40 – 50[ = 300 − (45 + 45 + 48 + 36 + 39 + 45) = 300 − 258 = 42 clients.

3) Clients de moins de 20 ans : FCC de [10 – 20[ = 30 %.

4) a) x̄ = 10 320 ÷ 300 = 34,4 ans (âge moyen d'un client) ; b) V = 123 492 ÷ 300 = 411,64 ; c) σ = √411,64 = 20,29 ans : en moyenne, l'âge d'un client s'écarte de 20,29 ans de l'âge moyen.

Partie I : Théorie

1) Une modalité est une des situations possibles du caractère ; l'effectif nᵢ est le nombre d'individus qui présentent cette modalité ; la fréquence relative est la part de cet effectif dans l'effectif total : fᵢ = nᵢ ÷ N.

2) L'ECC donne le nombre d'individus dont la valeur est inférieure à la limite supérieure d'une classe ; l'ECD donne le nombre d'individus dont la valeur est supérieure ou égale à la limite inférieure d'une classe. Ils servent aussi à trouver la médiane et les quartiles.

3) Le mode est la valeur qui a l'effectif le plus élevé ; la médiane est la valeur qui partage l'effectif total en deux parties égales (50 % / 50 %).

4) a) Faux : l'histogramme est réservé au caractère continu ; un caractère qualitatif se représente par un diagramme à secteurs ou en tuyaux d'orgue. b) Vrai : Σfᵢ = N ÷ N = 1, soit 100 %. c) Faux : c'est une racine carrée, il est toujours positif ou nul.

Partie II : Pratique

1) Individu : le client (la personne interrogée) ; caractère : le revenu ; nature : quantitatif continu.

2) 600 − (89 + 98 + 82 + 79 + 91 + 86) = 600 − 525 = 75 clients.

3) Revenu de 5 000 DH ou plus : FCD de [5 000 – 6 000[ = 29,50 % des clients.

4) a) x̄ = 2 081 000 ÷ 600 = 3 468,33 DH : revenu moyen d'un client. b) V = 2 484 398 333,33 ÷ 600 = 4 140 663,89. c) σ = √4 140 663,89 = 2 034,86 DH : en moyenne, le revenu d'un client s'écarte de 2 034,86 DH du revenu moyen.

Partie I : Théorie

1) La médiane partage l'effectif en deux parties égales (50 % / 50 %). Q₁ est la valeur telle que 25 % des observations lui sont inférieures et 75 % supérieures ; Q₃ : 75 % des observations lui sont inférieures et 25 % supérieures.

2) IQ = Q₃ − Q₁ : c'est l'écart qui contient les 50 % des observations du centre. Contrairement à l'étendue (max − min), il n'est pas faussé par les valeurs extrêmes.

3) L'écart-type dépend de l'unité et de la taille des valeurs ; le CV = σ ÷ x̄ × 100 est une dispersion relative, sans unité : on peut donc comparer des séries de tailles ou d'unités différentes.

4) Arithmétique : phénomènes qui s'additionnent (ventes, salaires) ; géométrique : phénomènes de croissance (taux d'évolution) ; harmonique : ratios et rapports (vitesse en km/h, pièces par heure) ; quadratique : surfaces, écarts.

Partie II : Pratique

1) x̄ = 3 380 ÷ 120 = 28,17 milliers de DH : montant moyen d'une vente.

2) Rang = 120 ÷ 2 = 60 → classe [25 – 35[ : Me = 25 + 60 − 4640 × 10 = 28,5 milliers de DH. 50 % des ventes ont un montant inférieur à 28 500 DH et 50 % un montant supérieur.

3) Rang = 3 × 120 ÷ 4 = 90 → classe [35 – 40[ : Q₃ = 35 + 90 − 8620 × 5 = 36 milliers de DH. 75 % des ventes ont un montant inférieur à 36 000 DH et 25 % un montant supérieur.

4) V = 11 771,67 ÷ 120 = 98,10 ; σ = √98,10 = 9,90 milliers de DH : en moyenne, chaque vente s'écarte de 9 900 DH de la vente moyenne (28 170 DH).

5) CV = 9,90 ÷ 28,17 × 100 = 35,14 % : dispersion forte, les montants des ventes sont hétérogènes.

Partie I : Théorie

1) Le mode est la valeur du caractère qui a l'effectif le plus élevé. Graphiquement, sur l'histogramme, on relie en croix les coins de la classe modale aux coins des classes voisines : l'abscisse du point d'intersection est le mode.

2) La médiale est la valeur qui partage en deux parties égales la masse totale Σnᵢcᵢ. Comparée à la médiane (ΔM = ML − Me), elle mesure la concentration.

3) La concentration mesure les inégalités de répartition d'une grandeur dans une population. Outils : la médiale, la courbe de Lorenz et l'indice de Gini.

4) L'EAM (Σnᵢ|cᵢ − x̄| ÷ N) est l'écart moyen à la moyenne, exprimé dans l'unité du caractère ; l'indice de dispersion (EAM ÷ x̄ × 100) est cet écart en pourcentage de la moyenne (dispersion relative).

Partie II : Pratique

1) x̄ = 7 225 ÷ 210 = 34,40 milliers de DH : montant moyen d'un don.

2) Classe modale [30 – 35[ ; d₁ = 60 − 40 = 20 ; d₂ = 60 − 30 = 30 : Mo = 30 + 2020 + 30 × 5 = 32 milliers de DH : le montant de don le plus fréquent.

3) Rang = 7 225 ÷ 2 = 3 612,5 → classe [35 – 40[ (cumul précédent 3 500) : ML = 35 + 3 612,5 − 3 5001 125 × 5 = 35,5 milliers de DH. Les dons inférieurs à 35 500 DH représentent la moitié du montant total collecté.

4) EAM = 1 257 ÷ 210 = 5,99 milliers de DH : en moyenne, chaque don s'écarte de 5 990 DH du don moyen.

5) ID = 5,99 ÷ 34,40 × 100 = 17,41 %.

Partie I : Théorie

1) Une classe [Lᵢ – Lₛ[ est un intervalle qui regroupe des valeurs d'un caractère continu ; le centre cᵢ = (Lᵢ + Lₛ) ÷ 2 ; l'amplitude aᵢ = Lₛ − Lᵢ. Pour [20 – 30[ : c = 25 et a = 10.

2) Quand les classes ont des amplitudes inégales (pour tracer l'histogramme et calculer le mode) : nᵢ corrigé = nᵢ × amplitude de référence ÷ amplitude de la classe.

3) Le mode est la valeur la plus fréquente ; la médiane est la valeur du milieu (50 % / 50 %) ; la moyenne est la valeur obtenue si le total était réparti également entre tous les individus.

4) On trace la courbe des ECC (sur les limites supérieures) et celle des ECD (sur les limites inférieures) : l'abscisse de leur point d'intersection est la médiane.

Partie II : Pratique

2) Dépense inférieure à 50 000 DH : ECC de [40 – 50[ = 51 clients. Dépense de 80 000 DH ou plus : ECD de [80 – 90[ = 17 clients.

3) x̄ = 9 390 ÷ 160 = 58,69 milliers de DH.

4) Classe modale [60 – 70[ ; d₁ = 40 − 24 = 16 ; d₂ = 40 − 28 = 12 : Mo = 60 + 1616 + 12 × 10 = 65,71 milliers de DH.

5) Rang = 160 ÷ 2 = 80 → classe [60 – 70[ (ECC précédent 75) : Me = 60 + 80 − 7540 × 10 = 61,25 milliers de DH.

Partie I : Théorie

1) En abscisse : les fréquences cumulées des effectifs (en %) ; en ordonnée : les fréquences cumulées de la masse nᵢcᵢ (en %) ; on relie les points de (0 ; 0) à (100 ; 100). La diagonale représente l'égalité parfaite (x % des individus détiennent x % de la masse).

2) IG = 0 : égalité parfaite, aucune concentration ; IG = 0,2 : concentration faible ; IG = 0,8 : concentration forte (une petite partie de la population détient une grande partie de la masse).

3) On calcule ΔM = ML − Me et on le rapporte à l'étendue : ΔM ÷ étendue × 100. Plus ce rapport est élevé, plus la concentration est forte ; ΔM = 0 : pas de concentration.

4) L'EAM est la moyenne des écarts, en valeur absolue, entre chaque valeur et la moyenne : EAM = Σnᵢ|cᵢ − x̄| ÷ N.

Partie II : Pratique

1) Caractère : la capacité de production ; nature : quantitatif continu.

3) Classe modale [100 – 120[ ; d₁ = 65 − 45 = 20 ; d₂ = 65 − 35 = 30 : Mo = 100 + 2020 + 30 × 20 = 108 milliers de tonnes.

4) Rang = 43 200 ÷ 2 = 21 600 → classe [140 – 160[ (cumul précédent 19 050) : ML = 140 + 21 600 − 19 0508 250 × 20 = 146,18 milliers de tonnes.

5) x̄ = 43 200 ÷ 360 = 120 ; EAM = 14 200 ÷ 360 = 39,44 milliers de tonnes : en moyenne, la capacité d'un moulin s'écarte de 39 440 tonnes de la capacité moyenne (120 000 tonnes).

Partie I : Théorie

1) C'est une série qui étudie deux caractères x et y mesurés sur les mêmes individus, pour chercher une relation entre eux. Exemples : prix et quantités vendues ; budget publicitaire et chiffre d'affaires.

2) Cov > 0 : x et y varient dans le même sens ; Cov < 0 : ils varient en sens contraire.

3) D(y/x) sert à prévoir y quand on connaît x ; D(x/y) sert à prévoir x quand on connaît y.

4) r = −0,95 : forte corrélation négative ; r = 0,10 : corrélation quasi nulle (pas de relation linéaire) ; r = 0,98 : forte corrélation positive.

5) Non : la corrélation montre que deux variables évoluent ensemble, pas que l'une cause l'autre.

Partie II : Pratique

Dossier 1

1) Caractère : le montant des transactions ; nature : quantitatif continu.

2) Classe modale [200 – 400[ ; d₁ = 60 − 34 = 26 ; d₂ = 60 − 23 = 37 : Mo = 200 + 2626 + 37 × 200 = 282,54 DH : c'est le montant de transaction le plus fréquent.

3) Rang = 195 ÷ 2 = 97,5 → classe [400 – 600[ (ECC précédent 94) : Me = 400 + 97,5 − 9423 × 200 = 430,43 DH. 50 % des clients ont effectué une transaction inférieure à 430,43 DH et 50 % une transaction supérieure.

Dossier 2

x̄ = 320 ÷ 6 = 53,33 ; ȳ = 1 760 ÷ 6 = 293,33

1) a = 10 533,33 ÷ 104 333,33 = 0,10 ; b = x̄ − a ȳ = 53,33 − 0,10 × 293,33 = 24 → x = 0,10y + 24

2) x = 0,10 × 600 + 24 = 84 DH.

Partie I : Théorie

1) La population est l'ensemble des éléments étudiés ; l'échantillon n'en est qu'une partie (sous-ensemble), choisie quand on ne peut pas interroger tout le monde.

2) La variance s'exprime dans l'unité au carré (DH², ans²), difficile à interpréter ; l'écart-type (σ = √V) s'exprime dans la même unité que le caractère.

3) CV = σ ÷ x̄ × 100. Plus il est faible, plus la série est homogène (moins de 15 % : dispersion faible ; plus de 30 % : dispersion forte). Il permet de comparer la dispersion de séries différentes.

4) L'ajustement linéaire consiste à résumer un nuage de points par une droite y = ax + b. La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts entre les points observés et la droite ; elle utilise tous les écarts à la moyenne.

Partie II : Pratique

Dossier 1

1) Population : les 40 entreprises industrielles concurrentes ; caractère : le nombre de salariés (quantitatif, présenté en classes).

2) a) x̄ = 2 180 ÷ 40 = 54,5 salariés ; V = 12 490 ÷ 40 = 312,25 ; σ = √312,25 = 17,67 salariés. En moyenne, l'effectif d'une entreprise s'écarte de 17,67 salariés de l'effectif moyen (54,5).

b) CV = 17,67 ÷ 54,5 × 100 = 32,42 % : dispersion forte, les entreprises ont des tailles assez différentes.

Dossier 2

x̄ = 83 ÷ 6 = 13,83 ; ȳ = 269 ÷ 6 = 44,83

1) a = 139,83 ÷ 30,83 = 4,54 ; b = ȳ − a x̄ = 44,83 − 4,54 × 13,83 = −17,96 → y = 4,54x − 17,96

2) y = 4,54 × 19 − 17,96 = 68,30, soit 68 articles.

Partie I : Théorie

1) Diagramme à secteurs : caractère qualitatif ; diagramme en bâtons : caractère quantitatif discret ; histogramme : caractère quantitatif continu ; chronogramme : série chronologique (évolution dans le temps).

2) Étendue = valeur maximale − valeur minimale. Limite : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes, une seule valeur exceptionnelle la fausse.

3) H ≤ G ≤ x̄ ≤ Q (harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique ≤ quadratique).

4) D₁ : 10 % des observations lui sont inférieures (rang N ÷ 10) ; D₉ : 90 % des observations lui sont inférieures (rang 9N ÷ 10).

Partie II : Pratique

1) Population : les 110 véhicules électriques ; caractère : la consommation électrique ; nature : quantitatif continu.

2) Les classes ont la même amplitude (2) : la hauteur des rectangles est l'effectif.

3) x̄ = 1 106 ÷ 110 = 10,05 kWh/100 km : consommation moyenne d'un véhicule.

4) Classe modale [9 – 11[ ; d₁ = 57 − 13 = 44 ; d₂ = 57 − 24 = 33 : Mo = 9 + 4444 + 33 × 2 = 10,14 kWh : c'est la consommation la plus fréquente parmi les véhicules étudiés.

5) Étendue = 15 − 5 = 10 kWh.

6) FCC de [9 – 11[ : 72,73 % des véhicules consomment moins de 11 kWh.

7) V = 403,68 ÷ 110 = 3,67 ; σ = √3,67 = 1,92 ; CV = 1,92 ÷ 10,05 × 100 = 19,10 % : dispersion assez faible, les consommations des véhicules sont plutôt homogènes autour de la moyenne.

Partie I : Théorie

1) Un indice élémentaire compare la valeur d'une grandeur simple à une date t à sa valeur à une date de base 0 : I_t/0 = Xₜ ÷ X₀ × 100. Indice 125 : hausse de 25 % par rapport à la base ; indice 90 : baisse de 10 %.

2) Chaque taux s'applique à une valeur qui a déjà varié : les taux se multiplient (1 + t₁) × (1 + t₂)… Le taux moyen se calcule avec la moyenne géométrique : (Xₙ ÷ X₀)^1/n − 1.

3) Les deux sont des indices synthétiques (panier de produits). Laspeyres pondère par les quantités de la période de base : L = Σpₜq₀ ÷ Σp₀q₀ × 100 ; Paasche pondère par les quantités de la période courante : P = Σpₜqₜ ÷ Σp₀qₜ × 100.

4) Réversibilité : I_0/t = 10 000 ÷ I_t/0 (l'indice de 0 base t est l'inverse de l'indice de t base 0).

Partie II : Pratique

1) Deux caractères quantitatifs : les quantités vendues (nombre d'unités : quantitatif discret) et le budget de communication (montant en DH : quantitatif continu).

2) x̄ = 962 ÷ 6 = 160,33 milliers d'unités ; ȳ = 1 394 ÷ 6 = 232,33 milliers de DH.

3) r = 9 355,33 ÷ √(3 811,33 × 23 409,33) = 9 355,33 ÷ 9 445,64 = 0,99 : très forte corrélation positive ; les ventes augmentent avec le budget de communication.

4) D(x/y) : a = 9 355,33 ÷ 23 409,33 = 0,40 ; b = 160,33 − 0,40 × 232,33 = 67,40 → x = 0,40y + 67,40

5) a) x = 0,40 × 325 + 67,40 = 197,40, soit environ 197 milliers de coffrets ; b) x = 0,40 × 400 + 67,40 = 227,40, soit environ 227 milliers de coffrets.

Partie I : Théorie

1) Une série chronologique est une série d'observations échelonnées dans le temps (ventes mensuelles, CA annuel). Composantes : la tendance (trend, long terme), les variations saisonnières et les variations accidentelles.

2) Séparer la série en 2 groupes de même taille → calculer le point moyen (x̄ ; ȳ) de chaque groupe → écrire le système de 2 équations ȳ = a x̄ + b → le résoudre (a et b) → faire les prévisions.

3) La médiane partage en deux parties égales l'effectif (le nombre d'individus) ; la médiale partage en deux parties égales la masse Σnᵢcᵢ (le total des revenus, des salaires…).

4) CV = 8 % : dispersion faible, série homogène, la moyenne est représentative ; CV = 45 % : dispersion forte, série hétérogène.

Partie II : Pratique

1) Revenu de 9 000 DH ou plus : FCD de [9 – 10[ = 48,67 % des ménages.

2) Rang = 300 ÷ 2 = 150 → classe [7 – 9[ (ECC précédent 80) : Me = 7 + 150 − 8074 × 2 = 8,89 milliers de DH. La moitié des ménages gagne moins de 8 890 DH.

3) Rang = 2 573,5 ÷ 2 = 1 286,75 → classe [10 – 12[ (cumul précédent 1 265,5) : ML = 10 + 1 286,75 − 1 265,5660 × 2 = 10,06 milliers de DH. Les ménages qui gagnent moins de 10 060 DH détiennent la moitié du revenu total.

4) x̄ = 2 573,5 ÷ 300 = 8,58 ; V = 3 433,41 ÷ 300 = 11,44 ; σ = √11,44 = 3,38 ; CV = 3,38 ÷ 8,58 × 100 = 39,4 % : dispersion forte, les revenus des ménages sont hétérogènes.

Partie I : Théorie

1) C'est la représentation des couples (xᵢ ; yᵢ) par des points dans un repère. On peut faire un ajustement linéaire si les points sont à peu près alignés.

2) −1 ≤ r ≤ 1. r > 0 : corrélation positive (même sens) ; r < 0 : corrélation négative (sens contraire) ; r = 0 : pas de corrélation linéaire ; plus |r| est proche de 1, plus la corrélation est forte.

3) Mayer (points moyens) : on coupe la série en deux groupes et on fait passer la droite par leurs deux points moyens ; rapide mais moins précise. Moindres carrés : utilise tous les écarts à la moyenne (a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ Σ(xᵢ − x̄)²) ; plus longue mais plus précise.

4) Cov(x, y) = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ n = Σxᵢyᵢ ÷ n − x̄ȳ.

Partie II : Pratique

x̄ = 750 ÷ 6 = 125 ; ȳ = 12 364 ÷ 6 = 2 060,67

1) D(y/x) : a = −62 790 ÷ 8 340 = −7,53 ; b = 2 060,67 − (−7,53 × 125) = 3 001,92 → y = −7,53x + 3 001,92

2) D(x/y) : a = −62 790 ÷ 481 083,33 = −0,13 ; b = 125 − (−0,13 × 2 060,67) = 392,89 → x = −0,13y + 392,89

3) a) y = −7,53 × 250 + 3 001,92 = 1 119,42 DH l'unité ; b) x = −0,13 × 2 500 + 392,89 = 67,89, soit 68 articles.

4) r = −62 790 ÷ √(8 340 × 481 083,33) = −62 790 ÷ 63 342,13 = −0,99 : très forte corrélation négative ; quand le prix augmente, les quantités vendues diminuent.