Chapitre 2

Les caractéristiques de position

Cours

Les caractéristiques de position (ou de tendance centrale) résument une série par une seule valeur autour de laquelle se regroupent les observations : le mode, la médiane (et les quartiles, déciles) et les moyennes.

Tout au long du chapitre, on utilise la série suivante : le retard (en minutes) de 88 ouvriers.

Retard en minutes (xᵢ)	Nombre d'ouvriers (nᵢ)	ECC
[0 – 5[	18	18
[5 – 10[	20	38
[10 – 15[	28	66
[15 – 20[	12	78
[20 – 25[	10	88
Total	88	—

I. Le mode (Mo)

Le mode

Le mode est la valeur du caractère qui a l'effectif le plus élevé (la valeur la plus fréquente).

1. Caractère discret

Le mode se lit directement : c'est la valeur xᵢ qui a le plus grand nᵢ.

Mode d'une série discrète

Nombre d'enfants : 1 → 25 familles ; 3 → 20 ; 4 → 30 ; 6 → 3. Le mode est 4 enfants (30 familles, le plus grand effectif).

2. Caractère continu : le mode algébrique

On repère la classe modale (celle qui a le plus grand effectif), puis on calcule :

Mo = Lᵢ + d₁d₁ + d₂ × a

Lᵢ : limite inférieure de la classe modale ; a : son amplitude ;
d₁ = effectif de la classe modale − effectif de la classe précédente ;
d₂ = effectif de la classe modale − effectif de la classe suivante.

Mode du retard des ouvriers

Classe modale : [10 – 15[ (28 ouvriers). d₁ = 28 − 20 = 8 ; d₂ = 28 − 12 = 16.

Mo = 10 + 88 + 16 × 5 = 10 + 1,67 = 11,67 minutes

Interprétation : le retard le plus fréquent chez les ouvriers est de 11,67 minutes.

3. La détermination graphique du mode

Sur l'histogramme, on relie en croix les coins de la classe modale aux coins des classes voisines : l'abscisse du point d'intersection est le mode.

Détermination graphique du mode (Mo ≈ 11,67)

4. Classes d'amplitudes inégales : effectifs corrigés

Si les amplitudes sont différentes, on cherche la classe modale et on calcule d₁ et d₂ avec les effectifs corrigés (voir chapitre 1).

Mode avec des classes inégales

Retard (xᵢ)	nᵢ	Amplitude	nᵢ corrigé (réf. 5)
[5 – 10[	20	5	20 × 5 ÷ 5 = 20
[10 – 20[	30	10	30 × 5 ÷ 10 = 15
[20 – 35[	45	15	45 × 5 ÷ 15 = 15
[35 – 40[	10	5	10 × 5 ÷ 5 = 10

La classe modale est [5 – 10[ (effectif corrigé 20, le plus grand). Il n'y a pas de classe avant elle : effectif précédent = 0. d₁ = 20 − 0 = 20 ; d₂ = 20 − 15 = 5.

Mo = 5 + 2020 + 5 × 5 = 5 + 4 = 9 minutes

II. La médiane (Me)

La médiane

La médiane est la valeur du caractère qui partage l'effectif total en deux parties égales : 50 % des individus ont une valeur inférieure à Me et 50 % une valeur supérieure.

1. Caractère discret

On calcule le rang N ÷ 2, puis on cherche la première valeur dont l'ECC atteint ou dépasse ce rang.

Médiane d'une série discrète

Nombre d'enfants (xᵢ)	Familles (nᵢ)	ECC
1	25	25
3	20	45
4	30	75
6	3	78
Total	78	—

Rang = 78 ÷ 2 = 39. Le premier ECC ≥ 39 est 45, qui correspond à 3 enfants : Me = 3 enfants.

2. Caractère continu : calcul par interpolation

Rang = N ÷ 2 ; la classe médiane est la première classe dont l'ECC atteint ou dépasse ce rang. Deux écritures équivalentes :

Me = Lᵢ + N ÷ 2 − ECC précédentnᵢ de la classe × a

Me − LᵢLₛ − Lᵢ = Rang − ECC précédentECC de la classe − ECC précédent

Notation du cours

Dans les corrigés, on note souvent « cum » l'ECC de la classe médiane et « cum − 1 » l'ECC de la classe précédente.

Médiane du retard des ouvriers

Rang = 88 ÷ 2 = 44. Le premier ECC ≥ 44 est 66 → classe médiane [10 – 15[ (ECC précédent = 38, nᵢ = 28).

Me = 10 + 44 − 3828 × 5 = 10 + 1,07 = 11,07 minutes

Avec la 2^e écriture : Me − 1015 − 10 = 44 − 3866 − 38 ⇒ Me = 10 + 5 × 628 = 11,07.

Interprétation : 50 % des ouvriers arrivent avec un retard inférieur à 11,07 minutes et 50 % avec un retard supérieur.

Graphiquement, la médiane est l'abscisse du point d'intersection de la courbe des ECC et de la courbe des ECD.

III. Les quartiles et les déciles

Ils se calculent exactement comme la médiane ; seul le rang change :

Indicateur	Rang	Signification
1^er quartile Q₁	N ÷ 4	25 % des observations sont inférieures à Q₁ et 75 % supérieures
2^e quartile Q₂	N ÷ 2	Q₂ = Médiane
3^e quartile Q₃	3N ÷ 4	75 % des observations sont inférieures à Q₃ et 25 % supérieures
Décile Dₖ (k = 1 à 9)	k × N ÷ 10	D₁ : 10 % des observations lui sont inférieures ; D₉ : 90 %

Quartiles et déciles du retard des ouvriers

Q₁ : rang = 88 ÷ 4 = 22 → classe [5 – 10[ (ECC précédent 18, nᵢ = 20) : Q₁ = 5 + 22 − 1820 × 5 = 5 + 1 = 6 minutes.

Q₃ : rang = 3 × 88 ÷ 4 = 66 → classe [10 – 15[ (ECC précédent 38, nᵢ = 28) : Q₃ = 10 + 66 − 3828 × 5 = 10 + 5 = 15 minutes.

D₁ : rang = 88 × 1 ÷ 10 = 8,8 → classe [0 – 5[ (ECC précédent 0, nᵢ = 18) : D₁ = 0 + 8,8 − 018 × 5 = 2,44 minutes.

D₉ : rang = 88 × 9 ÷ 10 = 79,2 → classe [20 – 25[ (ECC précédent 78, nᵢ = 10) : D₉ = 20 + 79,2 − 7810 × 5 = 20,6 minutes.

IV. Les moyennes

1. La moyenne arithmétique x̄

C'est la moyenne la plus utilisée (phénomènes qui s'additionnent : ventes, salaires, retards…).

Cas	Formule
Série simple (valeurs non groupées)	x̄ = Σxᵢ ÷ n
Caractère discret (moyenne pondérée)	x̄ = Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N
Caractère continu (on utilise les centres de classes)	x̄ = Σ(nᵢ × cᵢ) ÷ N

Moyenne du retard des ouvriers

Retard (xᵢ)	nᵢ	cᵢ	nᵢ × cᵢ
[0 – 5[	18	2,5	45
[5 – 10[	20	7,5	150
[10 – 15[	28	12,5	350
[15 – 20[	12	17,5	210
[20 – 25[	10	22,5	225
Total	88	—	980

x̄ = 98088 = 11,14 minutes

Interprétation : le retard moyen d'un ouvrier est de 11,14 minutes.

2. Les autres moyennes

Moyenne	Formule (série groupée)	Cas d'utilisation
Géométrique G	log G = Σ(nᵢ × log cᵢ) ÷ N	Phénomènes de croissance (taux d'évolution, intérêts composés)
Harmonique H	H = N ÷ Σ(nᵢ ÷ cᵢ)	Ratios et rapports (vitesse en km/h, pièces par heure, prix unitaires)
Quadratique Q	Q = √[Σ(nᵢ × cᵢ²) ÷ N]	Surfaces, écarts (elle donne plus de poids aux grandes valeurs)

Les quatre moyennes du retard des ouvriers

cᵢ	nᵢ	nᵢ ÷ cᵢ	nᵢ × log cᵢ	cᵢ²	nᵢ × cᵢ²
2,5	18	7,2	7,163	6,25	112,5
7,5	20	2,667	17,501	56,25	1 125
12,5	28	2,24	30,713	156,25	4 375
17,5	12	0,686	14,916	306,25	3 675
22,5	10	0,444	13,522	506,25	5 062,5
Total : 88	—	13,237	83,815	—	14 350

Harmonique : H = 88 ÷ 13,237 = 6,65
Géométrique : log G = 83,815 ÷ 88 = 0,9524 ⇒ G = 10^0,9524 = 8,96
Arithmétique : x̄ = 11,14
Quadratique : Q = √(14 350 ÷ 88) = √163,07 = 12,77

Ordre des moyennes

Pour une même série (valeurs positives) : H ≤ G ≤ x̄ ≤ Q. Ici : 6,65 ≤ 8,96 ≤ 11,14 ≤ 12,77. C'est un bon moyen de vérifier ses calculs.

Choisir la bonne formule

Mode = la valeur la plus fréquente ; Médiane = la valeur du milieu ; Moyenne = la valeur de répartition égale.
Série en classes → toujours travailler avec les centres de classes pour les moyennes, et par interpolation pour la médiane, les quartiles et les déciles.

Exercices

Exercice 1 : Série discrète

Nombre de pièces de 120 logements : 1 pièce → 12 ; 2 → 30 ; 3 → 45 ; 4 → 25 ; 5 → 8.

Calculez le mode, la médiane et la moyenne arithmétique.

Afficher la correctionMasquer la correction

xᵢ	nᵢ	ECC	nᵢ × xᵢ
1	12	12	12
2	30	42	60
3	45	87	135
4	25	112	100
5	8	120	40
Total	120	—	347

Mode : 3 pièces (effectif le plus élevé : 45).
Médiane : rang = 120 ÷ 2 = 60 ; premier ECC ≥ 60 = 87 → Me = 3 pièces.
Moyenne : x̄ = 347 ÷ 120 = 2,89 pièces.

Exercice 2 : Poids des colis

Un transporteur a pesé 100 colis :

Poids (kg)	[0 – 2[	[2 – 4[	[4 – 6[	[6 – 8[	[8 – 10[
Nombre de colis	8	22	30	25	15

Calculez et interprétez : le mode, la médiane, Q₁, Q₃ et la moyenne arithmétique.

Afficher la correctionMasquer la correction

Poids	nᵢ	ECC	cᵢ	nᵢ × cᵢ
[0 – 2[	8	8	1	8
[2 – 4[	22	30	3	66
[4 – 6[	30	60	5	150
[6 – 8[	25	85	7	175
[8 – 10[	15	100	9	135
Total	100	—	—	534

Mode : classe modale [4 – 6[ ; d₁ = 30 − 22 = 8 ; d₂ = 30 − 25 = 5 : Mo = 4 + 88 + 5 × 2 = 5,23 kg (poids le plus fréquent).
Médiane : rang 50 → classe [4 – 6[ : Me = 4 + 50 − 3030 × 2 = 5,33 kg (la moitié des colis pèse moins de 5,33 kg).
Q₁ : rang 25 → classe [2 – 4[ : Q₁ = 2 + 25 − 822 × 2 = 3,55 kg.
Q₃ : rang 75 → classe [6 – 8[ : Q₃ = 6 + 75 − 6025 × 2 = 7,2 kg.
Moyenne : x̄ = 534 ÷ 100 = 5,34 kg (poids moyen d'un colis).

Exercice 3 : Salaires (classes inégales)

Reprenez les salaires de l'exercice 3 du chapitre 1 : [3 000 – 4 000[ 15 ; [4 000 – 5 000[ 35 ; [5 000 – 6 000[ 25 ; [6 000 – 8 000[ 15 ; [8 000 – 10 000[ 10.

Calculez le mode, la médiane et le salaire moyen.

Afficher la correctionMasquer la correction

Mode : effectifs corrigés (référence 1 000) : 15 ; 35 ; 25 ; 7,5 ; 5. Classe modale [4 000 – 5 000[ ; d₁ = 35 − 15 = 20 ; d₂ = 35 − 25 = 10.

Mo = 4 000 + 2020 + 10 × 1 000 = 4 666,67 DH

Médiane : rang 50 ; ECC : 15 ; 50 ; … → classe [4 000 – 5 000[ (ECC = 50 exactement).

Me = 4 000 + 50 − 1535 × 1 000 = 5 000 DH

Moyenne : Σnᵢcᵢ = 15 × 3 500 + 35 × 4 500 + 25 × 5 500 + 15 × 7 000 + 10 × 9 000 = 542 500 ; x̄ = 542 500 ÷ 100 = 5 425 DH.

Vidéos

Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.

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