Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais être très différentes : dans l'une, toutes les valeurs sont proches de la moyenne ; dans l'autre, elles sont très éparpillées. Les caractéristiques de dispersion mesurent cet éparpillement.
On reprend la série du retard des 88 ouvriers (x̄ = 11,14 min ; Q₁ = 6 ; Q₃ = 15 ; D₁ = 2,44 ; D₉ = 20,6).
| Indicateur | Formule | Retard des ouvriers | Signification |
|---|---|---|---|
| Étendue (intervalle de variation) E | Valeur max − valeur min | 25 − 0 = 25 min | Écart entre la plus grande et la plus petite valeur |
| Intervalle interquartile IQ | Q₃ − Q₁ | 15 − 6 = 9 min | Pour les 50 % des ouvriers du « centre », l'écart maximal de retard est de 9 minutes |
| Intervalle interdécile | D₉ − D₁ | 20,6 − 2,44 = 18,16 min | Écart qui contient les 80 % des observations du centre |
L'étendue est facile à calculer mais elle ne dépend que de deux valeurs extrêmes : une seule valeur exceptionnelle la fausse. L'intervalle interquartile élimine les 25 % plus petites et les 25 % plus grandes valeurs.
C'est la moyenne des écarts (en valeur absolue) entre chaque valeur et la moyenne arithmétique.
EAM = Σ nᵢ × |cᵢ − x̄|N
On en déduit l'indice de dispersion (dispersion relative) :
ID = EAMx̄ × 100
| Retard | nᵢ | cᵢ | nᵢ × cᵢ | |cᵢ − x̄| | nᵢ × |cᵢ − x̄| |
|---|---|---|---|---|---|
| [0 – 5[ | 18 | 2,5 | 45 | 8,64 | 155,52 |
| [5 – 10[ | 20 | 7,5 | 150 | 3,64 | 72,80 |
| [10 – 15[ | 28 | 12,5 | 350 | 1,36 | 38,08 |
| [15 – 20[ | 12 | 17,5 | 210 | 6,36 | 76,32 |
| [20 – 25[ | 10 | 22,5 | 225 | 11,36 | 113,60 |
| Total | 88 | — | 980 | — | 456,32 |
EAM = 456,3288 = 5,19 minutes
ID = 5,1911,14 × 100 = 46,59 %
Interprétation : en moyenne, le retard de chaque ouvrier s'éloigne du retard moyen (11,14 min) de 5,19 minutes.
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La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type σ est la racine carrée de la variance : c'est l'indicateur de dispersion le plus utilisé, il s'exprime dans la même unité que le caractère.
V = Σ nᵢ × (cᵢ − x̄)²N
ou
V = Σ nᵢ × cᵢ²N − x̄²
σ = √V
| Retard | nᵢ | cᵢ | (cᵢ − x̄)² | nᵢ × (cᵢ − x̄)² |
|---|---|---|---|---|
| [0 – 5[ | 18 | 2,5 | 74,65 | 1 343,69 |
| [5 – 10[ | 20 | 7,5 | 13,25 | 264,99 |
| [10 – 15[ | 28 | 12,5 | 1,85 | 51,79 |
| [15 – 20[ | 12 | 17,5 | 40,45 | 485,40 |
| [20 – 25[ | 10 | 22,5 | 129,05 | 1 290,50 |
| Total | 88 | — | — | 3 436,37 |
V = 3 436,3788 = 39,05
σ = √39,05 = 6,25 minutes
Vérification avec la 2e formule : V = 14 350 ÷ 88 − 11,14² = 163,07 − 124,10 ≈ 39 (l'écart vient de l'arrondi de x̄).
Interprétation : en moyenne, le retard de chaque ouvrier s'écarte du retard moyen de 11,14 minutes de 6,25 minutes.
L'écart-type dépend de l'unité et de la taille des valeurs : on ne peut pas comparer l'écart-type d'une série en DH avec celui d'une série en kg. Le coefficient de variation donne une dispersion relative, sans unité :
CV = σx̄ × 100
CV = 6,25 ÷ 11,14 × 100 = 56,10 % : les retards sont très dispersés autour de la moyenne.
| Valeur du CV | Lecture habituelle |
|---|---|
| Moins de 15 % | Dispersion faible : série homogène, la moyenne est représentative |
| De 15 % à 30 % | Dispersion moyenne |
| Plus de 30 % | Dispersion forte : série hétérogène |
Ces seuils sont des repères. Certains corrigés d'examen qualifient de « faible » une dispersion de 19 % : on interprète surtout en comparant les CV de plusieurs séries (le plus petit CV = la série la plus homogène).
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Reprenez les 100 colis (x̄ = 5,34 kg ; Q₁ = 3,55 ; Q₃ = 7,2) :
| Poids (kg) | [0 – 2[ | [2 – 4[ | [4 – 6[ | [6 – 8[ | [8 – 10[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de colis | 8 | 22 | 30 | 25 | 15 |
Calculez l'étendue, l'intervalle interquartile, l'EAM, l'indice de dispersion, la variance, l'écart-type et le coefficient de variation. Interprétez.
| Poids | nᵢ | cᵢ | |cᵢ − x̄| | nᵢ × |cᵢ − x̄| | (cᵢ − x̄)² | nᵢ × (cᵢ − x̄)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [0 – 2[ | 8 | 1 | 4,34 | 34,72 | 18,84 | 150,68 |
| [2 – 4[ | 22 | 3 | 2,34 | 51,48 | 5,48 | 120,46 |
| [4 – 6[ | 30 | 5 | 0,34 | 10,20 | 0,12 | 3,47 |
| [6 – 8[ | 25 | 7 | 1,66 | 41,50 | 2,76 | 68,89 |
| [8 – 10[ | 15 | 9 | 3,66 | 54,90 | 13,40 | 200,93 |
| Total | 100 | — | — | 192,80 | — | 544,43 |
Le chiffre d'affaires journalier de deux magasins d'une même enseigne donne :
| Magasin | CA moyen (DH) | Écart-type (DH) |
|---|---|---|
| Casablanca | 12 000 | 3 000 |
| Fès | 4 000 | 1 500 |
Quel magasin a le chiffre d'affaires le plus régulier ? Justifiez.
Même si son écart-type est plus grand, le magasin de Casablanca est le plus régulier : son CV est le plus faible. On compare des dispersions relatives (CV), pas des écarts-types de séries de tailles différentes.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.