La concentration mesure les inégalités de répartition d'une grandeur (salaires, chiffre d'affaires, revenus…) à l'intérieur d'une population. Exemple : 20 % des salariés touchent-ils 50 % de la masse salariale ? On utilise trois outils : la médiale, la courbe de Lorenz et l'indice de Gini.
La médiale est la valeur du caractère qui partage en deux parties égales la masse totale Σ(nᵢ × cᵢ) (masse salariale, CA total…). La moitié de la masse est détenue par les individus dont la valeur est inférieure à ML.
Elle se calcule comme la médiane, mais sur les cumuls croissants de nᵢ × cᵢ :
Rang = Σ nᵢcᵢ2
ML = Lᵢ + Rang − cumul précédentnᵢcᵢ de la classe × a
ou ML − LᵢLₛ − Lᵢ = Rang − cumul précédentcumul de la classe − cumul précédent
| Retard | nᵢ | cᵢ | nᵢ × cᵢ | nᵢcᵢ cumulés |
|---|---|---|---|---|
| [0 – 5[ | 18 | 2,5 | 45 | 45 |
| [5 – 10[ | 20 | 7,5 | 150 | 195 |
| [10 – 15[ | 28 | 12,5 | 350 | 545 |
| [15 – 20[ | 12 | 17,5 | 210 | 755 |
| [20 – 25[ | 10 | 22,5 | 225 | 980 |
| Total | 88 | — | 980 | — |
Rang = 980 ÷ 2 = 490 → premier cumul ≥ 490 : 545 → classe [10 – 15[ (cumul précédent 195).
ML = 10 + 490 − 195350 × 5 = 10 + 4,21 = 14,21 minutes
On compare la médiale à la médiane :
ΔM = ML − Me
Concentration = ΔMÉtendue (IV) × 100
Me = 11,07 ; ML = 14,21 ⇒ ΔM = 14,21 − 11,07 = 3,14. Étendue IV = 25 − 0 = 25.
Concentration = 3,1425 × 100 = 12,56 % : concentration faible.
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On place :
On relie les points en partant de (0 ; 0) jusqu'à (100 ; 100). La diagonale représente l'égalité parfaite (x % des individus détiennent x % de la masse). Plus la courbe s'éloigne de la diagonale, plus la concentration est forte. La surface entre la diagonale et la courbe s'appelle l'aire de concentration.
| Retard | nᵢ | Fᵢ cumulé % | nᵢcᵢ | nᵢcᵢ cumulé % | Surface du trapèze |
|---|---|---|---|---|---|
| [0 – 5[ | 18 | 20,45 | 45 | 4,59 | 46,93 |
| [5 – 10[ | 20 | 43,18 | 150 | 19,90 | 278,33 |
| [10 – 15[ | 28 | 75,00 | 350 | 55,61 | 1 201,36 |
| [15 – 20[ | 12 | 88,64 | 210 | 77,04 | 904,67 |
| [20 – 25[ | 10 | 100 | 225 | 100 | 1 005,59 |
| Total | 88 | — | 980 | — | 3 436,88 |
L'indice de Gini mesure l'aire de concentration. Le triangle sous la diagonale a une surface de 100 × 100 ÷ 2 = 5 000. On calcule la surface sous la courbe de Lorenz comme une somme de trapèzes (le premier est un triangle) :
S₁ = F₁ × W₁2
Sₖ = (Wₖ₋₁ + Wₖ) × (Fₖ − Fₖ₋₁)2
IG = 5 000 − (S₁ + S₂ + … + Sₙ)5 000
(F = effectifs cumulés en %, W = masse nᵢcᵢ cumulée en %.)
IG = 5 000 − 3 436,885 000 = 0,31
| Valeur de IG | Interprétation |
|---|---|
| IG = 0 | Égalité parfaite : pas de concentration |
| Entre 0 et 0,5 | Concentration faible |
| Entre 0,5 et 1 | Concentration forte |
| IG = 1 | Concentration maximale (un seul individu détient toute la masse) |
Ici, IG = 0,31 : la concentration des retards est faible, ce qui confirme le résultat de la médiale (12,56 %).
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Reprenez les salaires des 100 salariés (Me = 5 000 DH) :
| Salaire (DH) | Effectif |
|---|---|
| [3 000 – 4 000[ | 15 |
| [4 000 – 5 000[ | 35 |
| [5 000 – 6 000[ | 25 |
| [6 000 – 8 000[ | 15 |
| [8 000 – 10 000[ | 10 |
| Salaire | nᵢ | cᵢ | nᵢcᵢ | nᵢcᵢ cumulé | Fᵢ cumulé % | nᵢcᵢ cumulé % | Surface |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [3 000 – 4 000[ | 15 | 3 500 | 52 500 | 52 500 | 15 | 9,68 | 72,60 |
| [4 000 – 5 000[ | 35 | 4 500 | 157 500 | 210 000 | 50 | 38,71 | 846,83 |
| [5 000 – 6 000[ | 25 | 5 500 | 137 500 | 347 500 | 75 | 64,06 | 1 284,63 |
| [6 000 – 8 000[ | 15 | 7 000 | 105 000 | 452 500 | 90 | 83,41 | 1 106,03 |
| [8 000 – 10 000[ | 10 | 9 000 | 90 000 | 542 500 | 100 | 100 | 917,05 |
| Total | 100 | — | 542 500 | — | — | — | 4 227,14 |
1) Rang = 542 500 ÷ 2 = 271 250 → classe [5 000 – 6 000[ (cumul précédent 210 000).
ML = 5 000 + 271 250 − 210 000137 500 × 1 000 = 5 445,45 DH
Les salariés qui gagnent moins de 5 445,45 DH se partagent la moitié de la masse salariale.
2) ΔM = 5 445,45 − 5 000 = 445,45 ; étendue = 10 000 − 3 000 = 7 000 ; concentration = 445,45 ÷ 7 000 × 100 = 6,36 % : faible.
3) IG = (5 000 − 4 227,14) ÷ 5 000 = 0,15 : concentration faible, la masse salariale est répartie de façon assez égalitaire.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.