Une série statistique à double entrée (à deux variables) étudie deux caractères x et y mesurés sur les mêmes individus : prix et quantités vendues, budget publicitaire et chiffre d'affaires, nombre de visites et articles achetés… L'objectif est de mettre en évidence une relation entre les deux et de faire des prévisions.
Exemple utilisé dans ce chapitre :
| Prix de l'article en DH (xᵢ) | 40 | 55 | 30 | 60 | 65 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Quantité vendue (yᵢ) | 200 | 250 | 100 | 300 | 410 | 500 |
On place chaque couple (xᵢ ; yᵢ) dans un repère. Si les points sont à peu près alignés, on peut résumer la relation par une droite : c'est l'ajustement linéaire.
On calcule d'abord les moyennes x̄ = Σxᵢ ÷ n et ȳ = Σyᵢ ÷ n, puis les écarts à la moyenne.
x̄ = 3206 = 53,33
ȳ = 1 7606 = 293,33
| xᵢ | yᵢ | xᵢ − x̄ | yᵢ − ȳ | (xᵢ − x̄)² | (yᵢ − ȳ)² | (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 40 | 200 | −13,33 | −93,33 | 177,78 | 8 711,11 | 1 244,44 |
| 55 | 250 | 1,67 | −43,33 | 2,78 | 1 877,78 | −72,22 |
| 30 | 100 | −23,33 | −193,33 | 544,44 | 37 377,78 | 4 511,11 |
| 60 | 300 | 6,67 | 6,67 | 44,44 | 44,44 | 44,44 |
| 65 | 410 | 11,67 | 116,67 | 136,11 | 13 611,11 | 1 361,11 |
| 70 | 500 | 16,67 | 206,67 | 277,78 | 42 711,11 | 3 444,44 |
| 320 | 1 760 | 0 | 0 | 1 183,33 | 104 333,33 | 10 533,33 |
La somme des écarts xᵢ − x̄ (et yᵢ − ȳ) est toujours égale à 0. Si ce n'est pas le cas (à l'arrondi près), il y a une erreur.
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Cov(x, y) = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)n
ou
Cov(x, y) = Σ xᵢyᵢn − x̄ × ȳ
Exemple : Cov(x, y) = 10 533,33 ÷ 6 = 1 755,56 > 0 : quand le prix augmente, la quantité augmente aussi (produit perçu comme de meilleure qualité, par exemple).
La droite des moindres carrés est celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts entre les points observés et la droite : c'est la droite qui « colle » le mieux au nuage.
Elle sert à prévoir y quand on connaît x.
y = ax + b
a = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)Σ (xᵢ − x̄)²
b = ȳ − a x̄
a = 10 533,33 ÷ 1 183,33 = 8,90 ; b = 293,33 − 8,90 × 53,33 = −181,31
D(y/x) : y = 8,90x − 181,31
Prévision de la quantité pour un prix de 95 DH : y = 8,90 × 95 − 181,31 = 664,19, soit 664 articles.
Elle sert à prévoir x quand on connaît y.
x = a'y + b'
a' = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)Σ (yᵢ − ȳ)²
b' = x̄ − a' ȳ
a' = 10 533,33 ÷ 104 333,33 = 0,10 ; b' = 53,33 − 0,10 × 293,33 = 24
D(x/y) : x = 0,10y + 24
Prévision du prix pour vendre 600 articles : x = 0,10 × 600 + 24 = 84 DH.
On cherche y (on connaît x) → D(y/x) : on divise par Σ(xᵢ − x̄)². On cherche x (on connaît y) → D(x/y) : on divise par Σ(yᵢ − ȳ)². Le numérateur est le même. Dans les examens : « prendre deux chiffres après la virgule ».
La corrélation (co-relation) mesure l'intensité de la relation linéaire entre deux variables.
r = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)√( Σ (xᵢ − x̄)² × Σ (yᵢ − ȳ)² )
| Valeur de r | Interprétation |
|---|---|
| r = 0 | Pas de corrélation linéaire |
| −1 ≤ r < 0 | Corrélation négative : les variables varient en sens contraire (ex. prix ↑, ventes ↓) |
| 0 < r ≤ 1 | Corrélation positive : les variables varient dans le même sens |
| |r| proche de 0 | Corrélation faible ou nulle : la droite ne permet pas de bonnes prévisions |
| |r| proche de 1 (au-delà de 0,8 environ) | Corrélation forte : les prévisions par la droite sont fiables |
| |r| = 1 | Corrélation parfaite : les points sont exactement alignés |
r = 10 533,33√(1 183,33 × 104 333,33) = 10 533,3311 111,30 = 0,95
r est proche de 1 : il existe une forte corrélation positive entre le prix et la quantité vendue.
Une forte corrélation montre que deux variables évoluent ensemble, mais pas que l'une est la cause de l'autre (les deux peuvent dépendre d'un troisième facteur, comme la saison).
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Une entreprise relève, sur 6 mois, son budget publicitaire xᵢ et son chiffre d'affaires yᵢ (en milliers de DH) :
| Budget publicitaire (xᵢ) | 2 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chiffre d'affaires (yᵢ) | 20 | 26 | 34 | 40 | 48 | 56 |
NB : prendre deux chiffres après la virgule.
x̄ = 33 ÷ 6 = 5,5 ; ȳ = 224 ÷ 6 = 37,33
| xᵢ | yᵢ | xᵢ − x̄ | yᵢ − ȳ | (xᵢ − x̄)² | (yᵢ − ȳ)² | (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 20 | −3,5 | −17,33 | 12,25 | 300,44 | 60,67 |
| 3 | 26 | −2,5 | −11,33 | 6,25 | 128,44 | 28,33 |
| 5 | 34 | −0,5 | −3,33 | 0,25 | 11,11 | 1,67 |
| 6 | 40 | 0,5 | 2,67 | 0,25 | 7,11 | 1,33 |
| 8 | 48 | 2,5 | 10,67 | 6,25 | 113,78 | 26,67 |
| 9 | 56 | 3,5 | 18,67 | 12,25 | 348,44 | 65,33 |
| 33 | 224 | 0 | 0 | 37,50 | 909,33 | 184 |
1) a = 184 ÷ 37,50 = 4,91 ; b = 37,33 − 4,91 × 5,5 = 10,33 → y = 4,91x + 10,33
2) y = 4,91 × 10 + 10,33 = 59,43 milliers de DH
3) a' = 184 ÷ 909,33 = 0,20 ; b' = 5,5 − 0,20 × 37,33 = −1,97 → x = 0,20y − 1,97. Pour y = 70 : x = 0,20 × 70 − 1,97 = 12,03 milliers de DH.
4) r = 184 ÷ √(37,50 × 909,33) = 184 ÷ 184,66 = 0,996 : corrélation positive très forte ; plus l'entreprise investit en publicité, plus son CA augmente.
Avec les données de l'exercice 1, calculez Σxᵢyᵢ puis la covariance par la formule Cov = Σxᵢyᵢ ÷ n − x̄ȳ. Vérifiez avec Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ n.
Σxᵢyᵢ = 2 × 20 + 3 × 26 + 5 × 34 + 6 × 40 + 8 × 48 + 9 × 56 = 40 + 78 + 170 + 240 + 384 + 504 = 1 416
Cov = 1 416 ÷ 6 − 5,5 × 37,33 = 236 − 205,33 = 30,67
Vérification : 184 ÷ 6 = 30,67. La covariance est positive : le budget et le CA varient dans le même sens.
Les vidéos de ce chapitre seront bientôt disponibles.